三角函数的诱导公式六公式Word文件下载.docx
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cos(π/2+α)=-sinα
诱导公式记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限。
[2]
或者也可以这样记:
分变整不变,符号看象限。
和(差)角公式
三角和公式
sin(α+β+γ)=sinα·
cosβ·
cosγ+cosα·
sinβ·
sinγ-sinα·
sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·
cosγ-cosα·
cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·
tanβ·
tanγ)/(1-tanα·
tanβ-tanβ·
tanγ-tanα·
tanγ)
(α+β+γ≠π/2+2kπ,α、β、γ≠π/2+2kπ)
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
倍角公式
sin(3a)→3sina-4sin^3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a→(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a→4sinasin(60°
+a)sin(60°
-a)
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°
+sina)(sin60°
-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°
-a)/2]*2sin[(60°
-a)/2]cos[(60°
+a)/2]
=4sinasin(60°
cos3a→4cosacos(60°
-a)cos(60°
+a)
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°
)(cosa+cos30°
)
=4cosa*2cos[(a+30°
)/2]cos[(a-30°
)/2]*{-2sin[(a+30°
)/2]sin[(a-30°
)/2]}
=-4cosasin(a+30°
)sin(a-30°
=-4cosasin[90°
-(60°
-a)]sin[-90°
+(60°
+a)]
=-4cosacos(60°
-a)[-cos(60°
=4cosacos(60°
tan3a→tanatan(60°
-a)tan(60°
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·
sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·
cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana·
tan(π/3+a)·
tan(π/3-a)
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=(-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N倍角
根据棣莫弗定理,(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)
为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c
考虑n为正整数的情形:
cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...…+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...…=>
;
比较两边的实部与虚部
实部:
cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...…i*
虚部:
i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...…
对所有的自然数n:
⒈cos(nθ):
公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
⒉sin(nθ):
⑴当n是奇数时:
公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。
⑵当n是偶数时:
公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉。
例.c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
特殊公式
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)
证明:
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]
=sin(a+θ)*sin(a-θ)
坡度公式
我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:
m形式,如i=1:
5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角),那么i=h/l=tana.
半角公式万能公式6辅助角公式
注:
该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式等
asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+φ),其中tanφ=b/a
asinA+bcosB=根号下a方+b方×
(根号下a方+b方分之a×
sinA+根号下a方+b方分之b×
cosB)令根号下a方+b方分之a=cosC则根号下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根号下a方+b方(sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×
sin(A+C)
双曲函数
ha=[e^a-e^(-a)]/2
cha=[e^a+e^(-a)]/2
tha=sinh(a)/cosh(a)
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
A·
sin(ωt+θ)+B·
sin(ωt+φ)=
√{(A+2ABcos(θ-φ)}·
sin{ωt+arcsin[(A·
sinθ+B·
sinφ)/√{A^2+B^2+2ABcos(θ-φ)}}
√表示根号,包括{……}中的内容
反三角函数公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2[1]
编辑本段?
函数应用
在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在海岛北偏东30,俯角为30的B处。
到11时10分又测得该船在岛北偏西60,俯角为60的C处。
(1)该船的航行速度是每小时多少千米?
(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的D处,此时船距岛A有多远?
解
(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°
PA=1,∴AB=√3(千米)在Rt△PAC中,∠APC=30°
,∴AC=√3/3(千米)在△ACB中,∠CAB=30°
+60°
=90°
则BC=√(AB)^2+(AC)^2=√(√3/3)^2+(√3)^2=√30/3(√30/3)/(1/6)=2√30(千米/时)
(2)∠DAC=90°
-60°
=30°
sinDCA=sin(180°
-∠ACB)=sinACB=AB/BC=√3/√30/3=3√10/10sinCDA=sin(∠ACB-30°
)=sinACB·
cos30°
-cosACB·
sin30°
=(3√3-1)√10/20在△ACD中,据正弦定理得,AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA
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- 关 键 词:
- 三角函数 诱导 公式