高二数学直线和平面垂直的判定和运用学生版Word文档下载推荐.docx

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3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n

B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

4.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

5．（教材习题改编）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________．

3、知识讲解（Teaching）：

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

⇒b⊥α

3．直线与平面垂直的性质定理

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

2．平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

4、强化练习（Training）

垂直关系的基本问题

典题导入

[例1]　（2012·

襄州模拟）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：

①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；

④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．

由题悟法

解决此类问题常用的方法有：

①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；

②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选．

以题试法

1．（2012·

长春模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；

②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；

④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3D．4

直线与平面垂直的判定与性质

[例2]　（2012·

广东高考）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝

AB，PH为△PAD中AD边上的高．

（1）证明：

PH⊥平面ABCD；

（2）若PH＝1，AD＝

，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；

（3）证明：

EF⊥平面PAB.

证明直线和平面垂直的常用方法有：

（1）利用判定定理．

（2）利用判定定理的推论（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）．

（3）利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．

（4）利用面面垂直的性质．

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

2．（2012·

启东模拟）如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：

MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°

，求证：

MN⊥平面PCD.

面面垂直的判定与性质

[例3]　（2012·

江苏高考）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

1．判定面面垂直的方法：

（1）面面垂直的定义．

（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．

转化方法：

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

3．（2012·

泸州一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°

，Q为AD的中点．

（1）若PA＝PD，求证：

平面PQB⊥平面PAD；

（2）若点M在线段PC上，且PM＝tPC（t>

0），试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.

5、训练辅导（Tutor）:

杭州模拟）设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥c，b⊥c　　　　　　　　　B．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；

②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；

③若l⊥α，l∥β，

则α⊥β；

④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是（　　）

A．①②B．②③

C．②④D．③④

3．给出命题：

（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．

其中正确命题个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

4.（2013·

济南模拟）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

5.（2012·

曲阜师大附中质检）如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：

①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；

③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③

C．①D．②③

6.（2012·

济南名校模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

8．（2012·

忻州一中月考）正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．

9.（2013·

蚌埠模拟）点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是________．

10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

DM∥平面APC；

（2）求证：

平面ABC⊥平面APC.

11.（2012·

北京海淀二模）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°

，

PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在

上，且OM∥AC.

平面MOE∥平面PAC；

平面PAC⊥平面PCB.

12．（2012·

珠海摸底）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝CB＝AE＝a，∠ACB＝

.

BC⊥平面ACFE；

（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．

6、反思总结（Thinking）：

堂堂清落地训练

（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）

1.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

2．如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，则△ACD是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

3.（2012·

莆田模拟）如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.

（1）现给出三个条件：

①PB＝

；

②PB⊥BC；

③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：

PA⊥平面ABC；

（2）在

（1）的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．

4．（2012·

福建高考）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

（1）求三棱锥A－MCC1的体积；

（2）当A1M＋MC取得最小值时，求证：

B1M⊥平面MAC.

江西模拟）如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上的一动点．

平面PAC⊥平面NEF；

（2）若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．