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选第二个元素只剩下n-1种方法,…,在选好m-1个元素后,最后一个元素只有n-(m-1)种选法。
由乘法法则,总选法数是n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
提示:
全排列问题和选排列问题,都可根据乘法原理推导出来。
2、组合
从n元集S中无序选取的r个元素叫做S的一个r-组合,不同的组合的总数记作C(n,r)。
规定C(n,0)=1。
(2)定理:
对满足r<
=n的非负整数n和r有P(n,r)=r!
×
C(n,r)。
证明:
先从n个元素中无序选取r个元素,有C(n,r)种方法。
对于每种选法,再把得到的r个元素进行全排列,有r!
种排列的方法。
从而得到n元集的所有r-排列。
由乘法法则有P(n,r)=r!
C(n,r),
组合数公式:
规定:
其他公式:
、
另附:
圆排列
从n个不同元素中不重复地取出m(1≤m≤n)个元素在一个圆周上,叫做这n个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列,则认为这两个圆排列相同。
计算公式:
n个不同元素的m-圆排列数为n!
/[(n-m)!
*m]
特别地,当m=n时,n个不同元素作成的圆排列总数为(n-1)!
三、练习题
加法原理例题:
图1中从A点走到B点共有多少种方法?
(答案:
4+2+3=9)
乘法原理例题:
图2中从A点走到B点共有多少种方法?
4×
6=24)
加法原理与乘法原理综合:
图3、图4中从A走到B共有多少种方法?
28、42)
注意:
在信息学奥赛中,有许多只需计数而不需具体方案的问题,都可以通过思维转换或方法转换,最后变为两类问题:
一类是转变为排列组合问题,另一类是转变为递推公式问题。
因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识,需要非常熟练,以达到简化问题的目的。
加法原理、乘法原理、排列、组合例题:
1.
(1)用数字0、1、2、3能组成多少个三位数?
(2)要求数字不能重复,又能组成多少个三位数?
(提示:
(1)先确定百位数,只能是1、2、3之间的数字;
再确定十位数,可以为0、1、2、3任何一个;
最后确定个位数,可以为0、1、2、3任何一个。
根据乘法原理,共有3×
4=48个。
(2)同理,先确定百位数、再确定十位数、最后确定个位数,根据乘法原理,共有3×
3×
2个)
2.国际会议洽谈贸易,有5家英国公司,6家日本公司,8家中国公司,彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次,问需要安排多少个会谈场次?
共分为中英、中日、英日会谈三类,对于中英会谈,先选定中方公司有8种选法,在选定英方公司有5种选法,故根据乘法原理有5×
8:
同理中日8×
6;
英日5×
总的会谈:
118)
3.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上,问有多少种不同的摆放方案数。
此题为全排列,故摆放方案总数为P(5,5)=5!
=120种。
也可以按乘法原理思考,即摆放第一本书有5种选择,摆放第二本数有4种选择,……,最后结果为5×
2×
1即5!
)
4.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上,问有多少种不同方案。
可根据选排列公式计算,总数为P(5,3)。
也可以根据乘法原理计算,答案为5×
3=60)
5.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书,问有多少种方法。
此题为组合问题,答案为
=10)
6.五种不同颜色的珠子串成一圈项链,问有多少种不同的方法。
此题属于圆排列问题,答案为(5-1)!
=24)
7.把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上,问有多少种方案。
此题为排列问题。
摆放方案总数为(2+2+3)!
种,但是两个红球一样,所以要除以2!
,同理两个蓝球,除以2!
,三个黄球,除以3!
,即摆放方案总数为
8.有男女各5人,其中3对是夫妻,他们坐成一排,若每对夫妻必须相邻而坐,问有多少种方法?
因为3对夫妻必须相邻而坐,因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列,这样排列总数为(7!
)种方法,又因为每对夫妻可以可以左右调换位置,因此总的方案为(7!
2))
9.
(1)把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?
(2)把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?
(3)推广开来,把R个相同的球放到N个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?
这是允许重复组合的典型模型。
(解答
(1):
3个球放入4个不同颜色盒子的分法共有3、0、0、0;
1、2、0、0;
1、1、1、0三类;
对于第一类3、0、0、0的方法,共有
种方法,但是有3个0是一样的,所以应该除以
,即第一类分法的方法数为
种,同理,第二种分法的方法数为
,第三种分法的方法数为
,所以总共的方法数为(
+
)种。
解答
(2)自行求解。
解答(3):
这一类问题,我们称为重复组合问题,其求解公式为C(n+r-1,r)。
请记住该公式即可。
排列组合练习习题:
1.有5本日文书、7本英文书、10本中文书。
问
(1)从中任取2本书有多少种方案?
(2)从中取2本相同文字的书有多少种方案?
(3)从中取2本不同文字的书有多少种方案?
此题为组合问题。
答案分别为:
2.把八个“车”放在8×
8的国际象棋棋盘上,如果它们两两均不能互吃(即在任何一行、任何一列都只有一个“车”),那么称八个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?
乘法原理。
先在第一行放置一个“车”,有8种选法,再在第二行放置一个“车”,还有7种选法,同理……,总共有8×
7×
1,即8!
种不同的安全状态。
3.从1~300之间任取3个不同的数,使得这3个数的和正好被3除尽,问有多少种方案?
1~300之间的数被3除的余数共有三类,分别是余数为0、余数为1、余数为2,每类各100个数。
任取3个数且这3个数相加的和正好被3除尽的情况只能是以下四种情况之一:
余数为0+1+2;
0+0+0;
1+1+1;
2+2+2。
再根据乘法原理和加法原理即可求解。
答案为:
100×
100+100×
99×
98+100×
98)
4.5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭,共有多少种方案?
如果要求夫妇必须坐在一起,又有多少种方案?
此题为圆排列问题。
第一问的答案为(10-1)!
对于第二问,因为夫妇必须坐在一起,因此可以将每对夫妇看为一个整体先行进行圆排列,排列方案为(5-1)!
,又因为每对夫妇可以左右交换位置,因此总的排列方案为(5-1)!
2。
5.N个男同学和N个女同学围绕圆桌坐下,要求男女必须交替就座,问共有多少种就座方法?
先经这N个男同学进行圆排列,方案为(N-1)!
,然后每个女同学依次坐入到两个男同学中间,第一个女同学有N个位置可以选,第二个女同学有N-1个位置可以选,依此类推。
根据乘法原理,所有的就座方案为(N-1)!
N!
6.8人站成一排排队,如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起,问有多少种排队方法?
如果甲和乙两人要求一定不站在一起,又有多少种方法?
第一问中,甲和乙一定站在一起,因此可以先将此二人看为一个整体,则排队方法为7!
,又因为甲和乙可以交换位置,因此总的方案为7!
对于第二问,则用8个人的总排队方案数减去甲和乙站在一起的方案数即可,答案为8!
-7!
7.有N个男同学和M个女同学站成一排,其中这M个女同学要求站在一起,问共有多少种排队方法?
排列问题+乘法原理。
分两步:
第一,先将这M个女同学看成一个整体排列;
第二,再将这M个女同学再排列。
然后根据乘法原理即可求得。
(N+1)!
M!
8.一个长度为N+M个字符的01字符串,问其中有N个1的字符串有多少个?
组合问题。
现有N+M个字符,如果把1看作取字符,把0看作不取字符,那么其中有N个1的字符串即相当于从N+M个字符中,任取N个字符的组合。
C(N+M,N))
9.一个N*M(N表示行,M表示列)的网格,从左上角(1,1)点开始走到右下角(N,M)点,每次只能向右或者向下走,问有多少种不同的路径。
(方法一:
从(1,1)点走到(N,M)点,无论如何走一共都要走(N-1)+(M-1)步,其中N-1步向右走,M-1步向下走,因为只有两种走法,不妨用二进制表示走路方式,1表示向右走,0表示向下走。
则可用一个长度为(N+M-2)的二进制串来表示走路方法,其中如果出现了N-1个1,则表示找到了一种路径。
从而把题目转化为求长度为N+M-2的2进制串中有N-1个1的个数,即求组合数学公式C(N+M-2,N-1)的值。
方法二:
对本题稍加分析就能发现,要到达棋盘上的某个点,只能从该点的上边过来,或者从该点的左边过来,根据加法原理,要到达该点的路径数目,就等于到达该点上点的路径与该点左点的路径数目之和,因此我们可以按照逐行递推的方法求出从起点到终点的路径数目。
初始化,左上角第一个元素值为1,其它点的值为上点与左点的和。
对于如右图的网格,用方法一的答案为C(4+3,3)=35;
用方法二逐行递推的方法得到网格上的数字,最后答案也为35。
比较两种方法,当数据较小时,采用公式一比较直接,但如果数据较大时,公式一的乘法运算量较大,这时可考虑用方法二逐行递推求得答案。
10.在上题中,若规定N<
M,行走方向仍然只能是向右或者向下行走,并且要求所经过的每一个点的坐标(a,b)恒满足a<
b的关系(a为行坐标,b为列坐标),问有多少条路径?
(测试数据:
N=4,M=5;
答案:
11.在上上题中,如果其中有X个点设置有障碍而无法通过,问有多少条路径?
其中X的值以及这X个点的坐标由键盘输入。
N=5,M=4,X=2,这2个障碍点坐标为(2,3)和(4,2);
12.一个由N个0和N个1组成的01字符串,要求从左往右,1的个数始终不少于0的个数的字符串共有多少个?
如N=1时,只有字符串10;
如N=2时,有1100、1010两个字符串;
如N=3时,有111000、110100、110010、101100、101010五个字符串。
该字符串的长度为2N,其中规定有N个1,即相当于从2N个字符中取出N个字符,方案数为C(2N,N)。
该题还规定从左往右,1的个数始终不少于0的个数,那么在C(2N,N)个方案中,必定有一些排列方案不符合要求,那么是哪些不符合要求呢?
我们看N=2的例子,此时所有的排列方案有0011、0101、0110、1001、1010、1100六种,其中只有1010和1100两种方案符合要求,为什么呢?
实际上,在N=2时,即有N个1,这样,我们将任意一个0填充到这N个1中的方案数有N+1种,如下图有
三个格子可以填充0,但是要保证所有的0总在1之后,因此也就只有
的位置符合要求(如1100和1010我们都认为是所有的0在1的右边,而1001则有一个0不在1的右边),即只有C(2N,N)的1/(N+1)种方案符合要求。
所以答案为:
C(2N,N)/(N+1))。
该数列称为Catalan数列,其数列为1、2、5、14、42……。
对于此问题,有许多变形应用,请熟记该公式。
1
(举一反三:
一个由N个0和N个1组成的01字符串,要求从左往右,1的个数始终不多于0的
个数的字符串共有多少个?
同理:
相当于1的位置只能排在所有0的位置之后,因此个数同样为:
C(2N,N)/(N+1)。
13.用N个A和N个B排列成一个字符串,要求从左往右的任意一位,A的个数不能少于B的个数,问有多少种排列方案。
14.有2N个顾客排队购买一种产品,该产品的售价为5元,其中N个顾客手持5元的货币,其余N个顾客手持10元货币。
由于售货员手中没有零钱找零,因此售货员必须将这2N个顾客按照一定的次序排好队,问有多少种排队方式可以依次顺利发售货品,而不出现无法找零的情况。
15.
学校某年级参加数学、物理、化学的培训,人数分别是150、120、100人。
同时培训数学、物理两门课的学生有21人;
同时培训数学、化学的有16人;
同时培训物理、化学的有8人;
三科都培训的有5人。
问该年级共有多少人?
对于此类问题,我们可以用一个图示法表示,从图中我们看出,总人数即为:
A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=150+120+100-21-16-8+5=330)
排列组合考试题:
16.在15个同学中准备选出4名同学参加国际信息学奥林匹克竞赛,其中学生甲和学生乙两人中,至少有一人必须被选中,问共有多少种选法?
15人中任意选出4人的总方案为C(15,4),15人中选4人并且甲和乙都不选的方案为C(13,4),这样答案为:
C(15,4)-C(13,4))
17.用A、B、C、D、E、F六个字母进行排列,其字符排列中不出现“ACE”或“DF”字串的排列方案有多少种?
六个字母的总排列方案为P(6,6),又因为要求排列的字符串中不得出现“ACE”或“DF”字串,因此我们可以将“ACE”看作一个整体,排列方案为P(4,4),将“DF”看作一个整体,排列方案为P(5,5),“ACE”和“DF”同时出现的方案为P(3,3),所以答案为:
P(6,6)-P(4,4)-P(5,5)+P(3,3);
即6!
-(4!
+5!
)+3!
18.栈的计数。
编号分别为1~N(1<
=N<
=18)的N辆列车顺序进入一个栈式结构的站台(先进后出),试问这N辆列车开出车站的所有可能次序有多少种序列。
(此题为NOIP2003年第九届普及组复赛试题第三题)
(分析:
我们用1表示进栈,0表示出栈,考虑到列车必须先进栈再出栈,因此从左到右1的个数总不少于0的个数(即总是进栈的列车多于或等于出站的列车,否则无列车可以出栈),这样问题就转化为我们已经解决了的问题。
C(2N,N)/(N+1))
19.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有两个不同颜色的球要放在其中,要求两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
在所有的摆放方案中,减去两个球相邻的摆放方案,即将此二球看为一个整体,(注意此二球可以左右交换位值),因为有六个格子一样,最后需要除以
答案:
=42种)
20.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有三个不同颜色的球要放在其中,要求任意两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
为了方便理解说明,不妨将这三个不同颜色的球编号为1、2、3号。
所有的摆放方案为
,减去任意两个球相邻的摆放方案,共有六种情况(即12、21、13、31、23、32),此时需要注意三个球相邻的情况,三个球相邻的情况有123、312、213、321、132、231共六种情况,在减去任意两个球相邻的情况时,比如减去12相邻的情况时,三个球相邻的情况123和312同时被减去了,同理还有其它五种情况,说明三球相邻的情况各被多减了一次,所以最后需要加上三球相邻的情况。
=120种)
21.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有2个红色球和3个蓝色球要放在其中,要求如下:
(1)每个格子最多摆放一个球;
(2)同一种颜色的球必须相邻摆放;
(3)不同颜色的球之间至少空出一个格子。
问共有多少种摆放方案。
如下是其中一种摆放方案。
红
蓝
将每种颜色的球看作一个整体后方法同上。
=12种)
22.有一排格子排成一排,已知共有12个格子。
现有3个红色球、2个蓝色球和1个黄色球要放在其中,要求如下:
黄
=210种)
23.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有两个相同的球要放在其中,要求两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
在19题的基础上,只是因为两个球相同而已,所以最后需除以
,答案:
24.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有三个相同的球要放在其中,要求任意两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
方法同上题,因为三个球相同,故最后需除以
=20种)
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