二元一次方程组难点考点易错点文档格式.docx
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3.二元一次方程组:
把两个方程x+y=3和2x+3y=10合写在一起为
像这样,把两个二元一次方程组合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
5.代入消元法:
由二元一次方程组中的一个方程,把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
6.加减消元法:
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
(二)二元一次方程组的实际应用
列方程组解应用题的常见类型主要有:
1.行程问题.包括追及问题和相遇问题,基本等量关系为:
路程=速度×
时间;
2.工程问题.一般分为两类,一类是一般的工程问题,一类是工作总量为1的工程问题.
基本等量关系为:
工作量=工作效率×
工作时间;
3.和差倍分问题.基本等量关系为:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×
1倍量;
4.航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类,基本关系式为:
顺流(风):
航速=静水(无风)中的速度+水(风)速 逆流(风):
航速=静水(无风)中的速度-水(风)速5.几何问题、年龄问题和商品销售问题等.
二、专题讲解
专题一错题分析
【误解】A或D. 【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值,而
中的一个方程的解,并不能让另一方程左、右两边相等,所以它们都不是这个方程组的解,只有C是正确的. 验证方程组的解时,要把未知数的值代入方程组中的每个方程中,只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解. 【正解】C.
把式③代入式②得8-3y+3y=8,0×
y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解. 【正解】由式②得x=8-3y ③ 把式③代入式①得2(8-3y)+5y=-21, 解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×
37,
解得x=-103.所以
【例3】解方程组
【错解】方程①-②得:
-3y=0,所以y=0,把y=0,代入②得x=-2,所以原方程组的解为
【分析】在①-②时出错.
【正解】①-②得:
(x-2y)-(x-y)=2-(-2)x-2y-x+y=4
-y=4y=-4
把y=-4代入②得x=-6,所以原方程组的解为
【小结】两方程相减时,易出现符号错误,所以要特别细心.
【例4】某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩.游戏时,每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人;
而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的
,问晚会上男、女生各有几人?
错解:
设晚会上男生有x人,女生有y人.
根据题意,得
把①代入②,得x=
(2x-1),解得x=3.把x=3代入②,得y=5.
所以
答:
晚会上男生3人,女生5人.
【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人,这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数,而是除自己之外的男生人数,同理,女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.
正解:
把③代入④,得x=
[2(x-1)-1-1], 解得x=12.
把x=12代入④,得y=21.
答:
晚会上男生12人,女生21人.
解二元一次方程组的问题看似简单,但如果你稍不注意,就有可能犯如下错误.
【例5】解方程组
【错解】方程①+②得:
2x=4, 原方程组的解是:
x=2
【错因分析】错解只求出了一个未知数x,没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.
【正解】
(接上)将x=2带入②得:
y=0.所以原方程组的解为
【小结】用消元法来解方程组时,只求出一个未知数的解,就以为求出了方程组的解,这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解,而不是一个解.
【例6】解方程组
【错解】由式①得y=2x-19
③ 把式③代入式②得2(2x-19-
【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时,符号书写出现了错误.当解比较复杂的方程组时,应先化简,在求出一个未知数后,可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中,求出第二个未知数,这样使得运算方便,避免出现错误. 【正解一】化简原方程组得
【正解二】化简原方程组得
①×
6+②得17x=114,
【小结】解二元一次方程组可以用代入法,也可以用加减法.一般地说,当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时,用代入法比较方便;
当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法比较方便.
专题二思维点拨
【例1】小红到邮局寄挂号信,需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张,问各需多少张这两种面额的邮票?
【思考与解】要解此题,第一步要找出问题中的数量关系. 寄信需邮资3元8角,由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元.再接着往下找数量关系,所需邮票的总票额等于所需6角邮票的总票额加上所需8角邮票的总票额.所需6角邮票的总票额等于单位票额6角与所需6角邮票数目的乘积.同样的,所需8角邮票的总票额等于单位票额8角与所需8角邮票数目的乘积.这就是题中蕴含的所有数量关系.
第二步要抓住题中最主要的数量关系,构建等式. 由图可知最主要的数量关系是:
所需邮资=所需邮票的总票额.
第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量. 已知量是所需邮资3.8元,两种邮票的单位票额0.6元和0.8元,未知量是两种邮票的数目.
第四步是设元(即设未知量),并用数学符号语言将数量关系转化为方程.设0.6元的邮票需x张,0.8元的邮票需y张,用字母和运算符号将其转化为方程:
0.6x+0.8y=3.8.
第五步是解方程,求得未知量.由于两种邮票的数目都必须是自然数,此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是
第六步是检验结果是否正确合理.方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数,将两解代入方程后均成立,所以结果是正确合理的.
第七步是答,需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票,或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.
【例2】小聪全家外出旅游,估计需要胶卷底片120张.商店里有两种型号的胶卷:
A型每卷36张底片,B型每卷12张底片.小聪一共买了4卷胶卷,刚好有120张底片.求两种胶卷的数量.
【思考与解】第一步:
找数量关系.A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数,A型胶卷的底片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数.A型胶卷的底片总数=每卷A型胶卷所含底片数×
A型胶卷数,B型胶卷的底片总数=每卷B型胶卷所含底片数×
B型胶卷数.
第二步:
找出最主要的数量关系,构建等式.A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数,A型胶卷的底片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数.
第三步:
找出未知量和已知量.已知量是:
胶卷总数,度片总数,每卷A型胶卷所含底片数,每卷B型胶卷所含底片数;
未知量是:
A型胶卷数,B型胶卷数.
第四步:
设元,列方程组.设A型胶卷数为x,B型胶卷数为y,根据题中数量关系可列出方程组:
第五步:
答:
A型胶卷数为3,B型胶卷数为1.
【小结】我们在解这类题时,一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步,如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.
【例3】 用加减法解方程组
【思考与分析】 经观察,我们发现两个方程中y的系数互为相反数,故将两方程相加,消去y.
解:
①+②,得 4x=8.
解得 x=2.
把x=2代入①,得 2+2y=3.
解得 y=
.
所以,原方程组的解为:
【思考与分析】 经观察,我们发现x的系数成倍数关系,故先将方程①×
2再与方程②作差消去x较好.
2,得 4x-6y=16.
③ ②-③,得 11y=-22.
解得 y=-2.
把y=-2代入①,得 2x-3×
(-2)=8.解得x=1.
所以原方程组的解为
【思考与分析】如果用代入法解这个方程组,就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,然后代入另一个方程.本题中,方程②的系数比较简单,应该将方程②进行变形.
如果用加减法解这个方程组,应从计算简便的角度出发,选择应该消去的未知数.通过观察发现,消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2,然后将两方程相减即可消去x. 解法1:
由②得x=8-2y.③ 把③代入①得2(8-2y)+5y=21,解得y=5.
把y=5代入③得x=-2.
所以原方程组的解为:
解法2:
②×
2得2x+4y=16.③ ①-③得2x+5y-(2x+4y)=21-16,解得y=5.
把y=5代入②得x=-2.
【小结】我们解二元一次方程组时,用到的都是消元的思想,用代入法还是加减法解题,原则上要以计算简便为依据.
【例6】 用代入法解方程组
【思考与分析】 经观察,我们发现方程①为用y表示x的形式,故将①代入②,消去x.
把①代入②,得 3(y+3)-8y=14.
解得 y=-1.
把y=-1代入①,得x=2.
【例7】 用代入法解方程组
【思考与分析】 经观察比较,我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,故选择①变形,消去y.
由①,得 y=2x-5.
③ 把③代入②,得3x+4(2x-5)=2.解得 x=2.
把x=2代入③,得 y=-1.
【例8】甲、乙两厂,上月原计划共生产机床90台,结果甲厂完成了计划的112%,乙厂完成了计划的110%,两厂共生产机床100台,求上月两厂各超额生产了多少台机床?
【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数,即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数,本题中就是设上月甲厂超额生产x台,乙厂超额生产y台;
而间接设法就是问什么并不设什么,而是采用先设出一个中间未知数,求出这个中间未知数,再利用它同题中要求未知数的联系,解出所要 求的未知数,题中我们可设上月甲厂原计划生产x台,乙厂原计划生产y台.
解法一:
直接设法.
设上月甲厂超额生产x台,乙厂超额生产y台,则共超额了100-90=10(台),而甲厂计划生产的台数是
台,乙厂计划生产的台数是
台.
上月甲厂超额生产6台,乙厂超额生产4台.
解法二:
间接设法.
设上月甲厂原计划生产x台,乙厂原计划生产y台.
所以x×
(112%-1)=50×
12%=6,y×
(110%-1)=40×
10%=4.
【例9】某学校组织学生到100千米以外的
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