第2讲 简易逻辑Word格式.docx

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{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。

（1）p：

9是144的约数，q：

9是225的约数.

（2）p：

方程x2－1=0的解是x=1,

q：

方程x2－1=0的解是x=－1,

（3）p：

实数的平方是正数，q：

实数的平方是0.

{解析}

（1）p或q：

9是144或225的约数；

p且q：

9是144与225的公约数，（或写成：

9是144的约数，且9是225的约数）；

非p：

9不是144的约数.

∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.

（2）p或q：

方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±

1”，这与真值表不符）；

p且q：

方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；

非p：

方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.

（3）p或q：

实数的平方都是正数或实数的平方都是0；

实数的平方都是正数且实数的平方都是0；

实数的平方不都是正数，（或：

存在实数，其平方不是正数）；

∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.

{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。

【例2】写出下述命题逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若a≤0，则方程x2－2x+a=0有实根.

（2）乘积为奇数的两个整数都不是偶数.

[解析]如果一个命题不是“若p则q”的形式，则应将它写成“若p则q“的形式.

（1）逆命题：

若方程x2－2x+a=0有实根，a≤0；

否命题：

若a>

0，则方程x2－2x+a=0无实根；

逆否命题：

若方程x2－2x+a=0无实根，则a>

0.

∵方程x2－2x+a=0有实根的充要条件是△=4－4a≥0，即a≤1，而a≤0

a≤1，

∴原命题与逆否命题为真命题；

∵方程x2－2x+a=0有实根

a≤1，而a≤1

a≤0；

∴逆命题与否命题为假命题.

（2）原命题可写成：

若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数；

若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数；

若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；

若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数.

上述四种形式的命题都是真命题.

[评析]学习命题的四种形式的难点是写出命题的否命题，需要同时否定命题的条件与结论，但对一些特殊的词句的否定需要积累经验，如上面第

（2）小题中对“都不”的否定，许多学生都误认为是“不都”，这是错误的，“不都”是对“都”的否定。

二、反证法：

（一）知识归纳：

1．用反证法证明命题的一般步骤如下：

①反设：

假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②归谬：

从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③结论：

由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：

①结论本身以否定形式出现；

②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；

③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；

④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.

1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：

原结论词

大于（>

）

小于（<

都是

都不是

至少n个

至多n个

反设词

不大于（≤）

不小于（≥）

不都是

至少有一个是

至多n－1个

至少n+1个

有无穷多个

存在唯一的

对任意p，使…恒成立

只有有限多个

不存在或至少存在两个

至少有一个p，使…不成立

2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：

①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；

②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；

③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.

但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.

【例】用反证法证明下述命题：

（Ⅰ）某班有49位学生，证明：

至少有5位学生的生日在同一个月.

[解析]“至少有5位”的反设是“至多只有4位”.

[证明]假设至多只有4位学生的生日在同一个月，即生日同在1，2，3，…12月的学生人数都不超过4人，

∴该班学生总数m≤4×

12=48人，与该班有49个学生的条件矛盾，

∴假设不成立，∴至少有5位学生的生日在同一个月.

（Ⅱ）设f（x）=x2+ax+b,

①

求证：

|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|、中至少有一个不小于

.

③

②

[证明]假设

由①、②得

两式相加得－4<

a<

－2④，

由②、③得

，两式相加得－6<

－4⑤，

显然④与⑤矛盾，∴假设不成立，

∴|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|、中至少有一个不小于

（Ⅲ）设三个正实数a、b、c满足条件

=2

a、b、c中至少有两上不小于1.

[证明]假设a,b,c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：

（1）a、b、c三数均小于1，

即0<

1,0<

b<

1,0<

c<

1,则

∴

>

3与已知条件矛盾；

（2）a、b、c中有两数小于1，

设0<

1,而c≥1，则

2+

2，也与已知条件矛盾；

∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.

[评析]象上面的这些例题，要证明的结论是“至多、至少”等，还是比较容易判断需要用反证法，从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”，需有一定的能力，因此反证法在高考中很少要求.

三、充分条件与必要条件：

1．命题“若p则q”为真，记作p

q；

“若p则q”为假，记作“p

q”.

2．充分与必要条件：

①如果已知p

q，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.

②如果既有p

q，又有q

q，即p

q,则称p是q的充要条件.

3．充分、必要条件与四种命题的关系：

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若p则q”都是真命题.

②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。

充要条件是数学学习中十分重要的内容，应用很广泛，解决充要条件问题可以从下面两个方面入手，

1．直接推埋：

由条件p出发进行推理，然后由结论q出发进行推理.

①若p

q，而q

p，则p是q的充分但不必要条件，而q是p的必要但不充分条件.

②若p

p，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.

③若p

p，则p是q的既不充分也不必要条件.

2．从集合思想考虑：

如果条件p与结论q很容易用集合来描述，则从集合思想考虑比较简单.

设P={p},Q={q},

≠

①若P

Q，则p是q的充分但不必要条件，而q是p的必要但不充分条件.

②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.

③若P

Q且Q

P，则p是q的既不充分也不必要条件.

【例1】判断下述p是q的什么条件：

x>

5q：

x≥5；

D2=4Fq：

圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切；

（4）p：

多面体是正四棱柱，q：

多面体是长方体；

（5）p：

△ABC中，acosB=bcosA,q：

△ABC为等腰三角形.

[解析]根据命题的特点，准确选择方法.

（1）设P={x|x>

5}，Q={x|x≥5}，∵P

Q，∴p是q的充分但不必要条件；

（2）

；

∴p是q的既不充分也不必要条件；

（3）圆

形成的值看作集合Q，而条件.

P形成的集合看作集合P，显然Q

P，

∴p是q的必要但不充分条件；

（4）∵正四棱柱是特殊的长方体，∴{正四棱住}，

{长方体}，

（5）∵acosB=bcosA

2RsinAcosB=2RcosAsinB

sin（A－B）=0

A=B,∴p

而q中没有指明哪两个角相等，显然q

p，

[评析]从上面的例子可以看出，充分与必要条件问题的正确解答主要还是取决于问题本身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.

【例2】求证：

关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.

[解析]先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.

先证明条件的充分性：

∴方程有实数根①

①、②知“a≥2且|b|≤4”

“方程有实数根，且两根均小于2”.

再验证条件不必要：

∵方程x2－x=0的两根为x1=0,x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－

<

2，

∴“方程的两根小于2”

“a≥2且|b|≤4”.

综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.

[评析]充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；

而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.

《训练题》

一、