拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何94直线与圆圆与圆的位置关系学案理Word文件下载.docx

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A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．相交过圆心

D．相离

B

解析：

由题意知，圆心（1，－2）到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<

，且2×

1＋（－2）－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．

（2）[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为________．

x－y＋2＝0

圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，圆心坐标为（2,0），半径为2，点P在圆上．

易知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k（x－1），即kx－y－k＋＝0，

∴＝2，解得k＝，

∴切线方程为y－＝（x－1），

即x－y＋2＝0.

圆的切线：

注意切线的条数．

过点（2,3）作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．

5x－12y＋26＝0或x－2＝0

当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.

当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k（x－2），

即kx－y＋3－2k＝0，

由圆心到切线的距离等于半径得＝2，

解得k＝，

所以切线方程为y－3＝（x－2），

即5x－12y＋26＝0.

综上可知，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0.

[典题1]　

（1）[2017·

湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点（1,0）沿逆时针方向旋转15°

得到直线l，则直线l与圆（x＋3）2＋y2＝4的位置关系是（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．相交或相切

[答案]　B

[解析]　依题意得，直线l的方程是y＝tan150°

（x－1），即x＋y－1＝0，圆心（－3,0）到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．

（2）[2017·

陕西西安一模]直线（a＋1）x＋（a－1）y＋2a＝0（a∈R）与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是（　　）

A．相切B．相交

C．相离D．不确定

[解析]　解法一：

x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝9，

故圆心坐标为（1，－1），半径r＝3，

圆心到直线的距离d＝＝.

再根据r2－d2＝9－＝，

而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，

故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．

解法二：

由（a＋1）x＋（a－1）y＋2a＝0（a∈R），

整理得x－y＋a（x＋y＋2）＝0，

则由解得

即直线（a＋1）x＋（a－1）y＋2a＝0（a∈R）过定点（－1，－1），又（－1）2＋（－1）2－2×

（－1）＋2×

（－1）－7＝－5＜0，

则点（－1，－1）在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线（a＋1）x＋（a－1）y＋2a＝0（a∈R）与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．

（3）已知直线l：

y＝kx＋1，圆C：

（x－1）2＋（y＋1）2＝12.

①求证：

不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

②求直线l被圆C截得的最短弦长．

解法一：

①[证明]　由消去y，得

（k2＋1）x2－（2－4k）x－7＝0，

因为Δ＝（2－4k）2＋28（k2＋1）>

0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．

②[解]　设直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|

＝2＝2，

令t＝，则tk2－4k＋（t－3）＝0，

当t＝0时，k＝－；

当t≠0时，因为k∈R，

所以Δ＝16－4t（t－3）≥0，

解得－1≤t≤4，且t≠0，

故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.

则直线l被圆C截得的最短弦长为2.

①[证明]　因为不论k为何实数，直线l总过点P（0,1），而|PC|＝<

2＝r，所以点P（0,1）在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．

②[解]　由平面几何知识知，过圆内定点P（0,1）的弦，只有与PC（C为圆心）垂直时才最短，

而此时点P（0,1）为弦AB的中点，

由勾股定理知，|AB|＝2＝2，

即直线l被圆C截得的最短弦长为2.

[点石成金]　判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；

若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．

考点2　切线、弦长问题

[教材习题改编]过点P（1,0）的直线l被圆O：

（x－1）2＋（y－1）2＝1截得的弦长为，则直线l的斜率为________．

1或－1

点P（1,0）在圆O上，而圆O的半径为1，由图（图略）可知直线l的斜率为1或－1.

1.圆的弦长问题：

几何法．

直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．

2

由题意可知，圆心（0,0）到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，

则|AB|＝2＝2.

2．圆的切线方程问题：

代数法或数形结合法．

过点P（－1,0）作圆（x－1）2＋y2＝1的切线，则切线方程是________．

y＝±

（x＋1）

作出图形（图略），可知过点P（－1,0）的圆的切线的倾斜角为30°

或150°

，

所以切线方程为y＝±

（x＋1）.

[典题2]　

（1）已知圆C过点（－1,0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：

y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________．

[答案]　x－y＋3＝0

[解析]　设圆心为（a,0）（a＜0），则圆的半径r＝|a＋1|，

圆心（a,0）到y＝x＋1的距离为，

由截得的弦长为2，得|a＋1|2＝2＋2，解得a＝－3，

所以过圆心且与l平行的直线为y－0＝x＋3，即x－y＋3＝0.

（2）已知点P（＋1,2－），点M（3,1），圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝4.

①求过点P的圆C的切线方程；

②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

[解]　由题意，得圆心C（1,2），半径r＝2.

①∵（＋1－1）2＋（2－－2）2＝4，

∴点P在圆C上．

又kPC＝＝－1，

∴切线的斜率k＝－＝1.

∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－）＝1×

[x－（＋1）]，即x－y＋1－2＝0.

②∵（3－1）2＋（1－2）2＝5>

4，

∴点M在圆C外部．

当过点M的直线斜率不存在时，

直线方程为x＝3，即x－3＝0.

又点C（1,2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，

即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.

∴切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.

∵|MC|＝＝，

∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.

[点石成金]　1.圆的切线方程的两种求法

（1）代数法：

设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

（2）几何法：

设切线方程为y－y0＝k（x－x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

[提醒]　若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．弦长的两种求法

（1）代数方法：

将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

（2）几何方法：

若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.

[提醒]　代数法计算量较大，我们一般选用几何法.

1.[2017·

重庆调研]过点（－2,3）的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为（　　）

A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0

A

由题意，得圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5，则圆心C（－1,2）．

过圆心与点（－2,3）的直线l1的斜率为k＝＝－1.

当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，

所以直线l的方程为y－3＝x－（－2），即x－y＋5＝0.

2．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．

4

将圆的方程化为标准方程（x－3）2＋（y－4）2＝5，则圆心为（3,4），半径为.

由题意可设切线方程为y＝kx，则圆心（3,4）到直线y＝kx的距离等于半径，

即＝，解得k＝或k＝，

则切线方程为y＝x或y＝x.

联立切线方程与圆的方程，解得两切点P，Q的坐标分别为（4,2），，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.

考点3　圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

设圆O1：

（x－a1）2＋（y－b1）2＝r（r1>

0），圆O2：

（x－a2）2＋（y－b2）2＝r（r2>

0）.

　　　　方法

几何法：

圆心距d与r1，r2的关系

代数法：

两圆方程联立组成方程组的解的情况

外离

________________

外切

相交

内切

____________

内含

d>

r1＋r2　无解　d＝r1＋r2　一组实数解　|r1－r2|<

d<

r1＋r2　两组不同的实数解

d＝|r1－r2|（r1≠r2）　一组实数解　0≤d<

|r1－r2|（r1≠r2）　无解

（1）[教材习题改编]圆O1：

（x＋2）2＋y2＝4与圆O2：

（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为________．

两圆圆心分别为O1（－2,0），O2（2,1），

半径长分别为r1＝2，r2＝3.

∵|O1O2|＝＝，

3－2<

<

3＋2，∴两圆相交．

（2）[教材习题改编]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

由

得x－y＋2＝0.

又圆x2＋y2＝4的