无穷限广义积分的数值计算【信息科学与技术专业】【毕业设计+文献综述+开题报告】.docx
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本科毕业论文(设计)
无穷限广义积分的数值计算
摘要:
本文首先归纳了常用的数值积分公式,包括梯形法则、复合梯形法则、辛普森法则、复合辛普森法则、Gauss公式等;然后主要归纳总结了几种无穷限广义
积分的数值计算方法,包含变量替换、无穷区间的截断、无穷区间上的高斯求积公式、
极限过程;最后举例给出了两种无穷限广义积分的数值计算方法在Matlab环境中的编程实现,并加以比较.
关键词:
无穷限;广义积分;数值计算
NumericalCalculationofInfiniteLimitedImproperIntegration
Abstract:
Inthisthesis,firstlythegeneralmethodsofnumericalintegrationareconcluded,includingthetrapezoidalrule,compositetrapezoidalrule,Simpson'srule,compositeSimpsonrule,Gaussformula,andsoon.Thenseveralinfinitelimitofimproperintegrationnumericalmethodaresummarized,includingvariablesubstitution,truncationofinfiniteinterval,Gaussianformulaoverinfiniteinterval,thelimitprocess.Finally,anexampleisgiventodescribetwokindsofinfinitelimitthenumericalcomputationmethodofimproperintegrationintheMatlabenvironmentoftheprogrammingrealization,andcompared.
Keywords:
infinitelimit;improperintegration;numericalcalculation
目 录
1绪论 1
1.1问题的背景 1
2数值积分的一般方法 2
2.1梯形法则 2
2.2复合梯形法则 2
2.3辛普森法则 3
2.4复合辛普森法则 3
2.5Gauss公式 4
3无穷积分的敛散性判别 5
4无穷限广义积分的数值计算方法 6
4.1变量替换 6
4.2无穷区间的截断 6
4.3无穷区间上的高斯求积公式 7
4.4极限过程 8
4.5无穷限广义积分的新方法 8
5Matlab实例 9
致谢 16
参考文献 17
1 绪论
1.1 问题的背景
在讨论积分时有两个最基本的限制:
积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”.
根据函数的变化率,利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量,利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化,为了把握函数在无穷区间上增量的变化,我们还需要引进并讨论无穷限积分.[1]
比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器,就要摆脱地球强大的引力,那如何离开地球呢?
地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星,需要的最小速度是第二宇宙速度.第二宇宙速度为11.2公里/秒,是第一宇宙速度的2倍.地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球.
我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题.
在黎曼积分的定义中,被积函数和积分区间都是有界的.若被积函数或积分区间无界,则称为广义积分.对无界区间,如[a,¥),如果对任何有限的b,f在区间[a,b]上可积,并且下列
极限存在且为有限数,则广义积分的定义为
38
¥
() = òa
ò
b
fxdx lim
a b®¥
f(x)dx.
对无界的积分区间,可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分,具体方法如下:
一种方法就是采用专门计算无穷限广义积分的求积公式,比如说高斯-拉盖尔(Gauss-
laguerre)或者高斯-艾尔米特求积公式.
另外就是采用变量替换,无穷区间的截断,无穷区间上的高斯求积公式,极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算.
2 数值积分的一般方法
定积分的数值近似称为数值求积.[2]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积.在近似积分中,主要从定义积分的黎曼和出发,用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分.
许多定积分都无法用解析方法求出.对于那些并不知道函数f(x)的表达式只能通过实验得
到f(x)在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法.[3]
2.1梯形法则[4]
把以曲线f(x)为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后,估计小曲边梯形面积的一个方法
是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积,但是这时误差会比较大.事实上,这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线f(x).我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式.
一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线f(x),事实上,我们让小矩形的上边连续倾斜直
b b-a
到最好地拟合曲线,得到相应的求积公式是
òf(x)dx» éëf(a)+f(b)ùû,
(2.1.1)
a 2
对所有fÎP1(即次数最多是1次的全体多项式)公式精确成立.此外,它的误差项是
-1(b-a)3f''(x),12
1
其中xÎ(a,b).通过多项式逼近中的误差f(x)-p(x)=f''(xx)(x-a)(x-b)2积分,再利
用积分中值定理,可以确定梯形法则的误差项.
2.2复合梯形法则
如果划分区间[a,b]为:
a=x0 那么在每个子区间上可应用梯形法则.这时结点未必是等距的.这样,我们得到复合梯形法 则 b n òx f(x)dx-=å xif(x)dx»1ån (x-x )éf(x )+f(x)ù, (2.1.2) òa i=1 i-1 2i=1 i i-1ë i-1 iû 对等间距h=(b-a)n及结点xi=a+ih,复合梯形法则具有形式 n b òaf(x)dx»hå''f(a+ih), i=0 (2.1.3) 其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是 -1(b-a)h2f''(x),12 n 其中xÎ(a,b).对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实: 在[a,b]内存在一点x使得 f''(x)=(1n)åf''(xi),其中xiÎ(xi-1,xi)以及1n=(b-a)h,即平均值,这样便得到总误 i=1 差项. 2.3辛普森法则[5] 对任意区间[a,b]的类似计算可得到熟悉的辛普森法则: bf(x)dx»b-aéf(a)+4fæa+bö+f(b)ù . òa 6 ê ç 2 ÷ ú (2.1.4) ë è ø û 从它的推导过程可知,对于所有次数£2的多项式辛普森法则是精确成立的.出乎意料的是, 对于所有次数£3的多项式它也精确成立. 与辛普森法则联系在一起的误差项是: ë û -1é(b-a)2ù5f(4)(x), 90 其中xÎ(a,b). b 2.4复合辛普森法则 在每个小区间[xk,xk+1 ]上使用辛普森求积法则,再求和得到逼近 b òaf(x)dx»Sn òaf(x)dx的求积公式 =1 é æ ö ù ø è hêf(xk)+4fçx1÷+f(xk+1)ú, (2.1.5) 6 êë k+2 úû 其中x1 k+ 2 =1x,x ( 2 k k+1 ).公式(2.1.5)称为复合辛普森法则. Sn的下标n表示把积分区间 [a,b]分为n等分. 设fÎC4[a,b],那么复合辛普森法则的误差为 b En(f)=òa f(x)dx-S 2.5Gauss公式[6] b 设有计算 =-b-ah4f(4)(h),hÎ[a,b]. 2880 的求积公式 I(f)=òa f(x)dx (2.1.6) n In(f)=åAkf(xk), k=0 (2.1.7) 其中求积节点xk(k=0,1,Ln),求积系数Ak(k=0,1,Ln). 如果其代数精度为(2n+1),则称为求积公式为Gauss-Legendre公式(简称Gauss公式), 称相应的求积节点为Gauss点. kk=0 由代数精度的定义知,式(2.1.6)为Gauss公式的充分必要条件是求积节点{x}n 和求积系 {A} 数 n b kk=0 满足下列方程组: n å ì ï Ak ï k=0 =òa1dx n å ï ï n ï k=0 å í ï ï k=0 ï ïn xkAk= xA = 2 kk M òaxdx b ò bx2dx . a ïåx2n+1A=bx2n+1dx k k (2.1.8) ïîk=0 òa Gauss积分不但具有高精度,而且是稳定的,其原因是由于它的求积系数具有非负性.高斯求积公式,它不但具有最高的代数精度,而且收敛性和稳定性都有保证.因此是高精 度的求积公式.高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律,所以不便编程实现,在实际应用中,可以把低阶高斯公式进行复化.[7] 3无穷积分的敛散性判别[8] 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条 +¥ u 件.由定义知道,无穷积分 òa f(x)dx收敛与否,取决于函数F(u)=òa f(x)dx在 u®+¥时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则. +¥ 无穷积分òa f(x)dx收敛的充要条件是: 任给e>0,存在G³a,只要u1、u2>G,便 有 ò ò ò u2f(x)dx-u1f(x)dx= u2f(x)dx
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