学年高中数学人教A版选修11教学案第一章11命题及其关系含答案文档格式.docx

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（5）数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

[课前反思]

（1）命题的定义是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

（2）真、假命题的定义是：

（3）命题的条件和结论的定义是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

[思考]　一个语句是命题应具备哪两个要素？

（1）是陈述句；

（2）可以判断真假．

讲一讲

1．判断下列语句中，哪些是命题？

（链接教材P2－例1）

（1）函数f（x）＝

在定义域上是减函数；

（2）一个整数不是质数就是合数；

（3）3x2－2x>

1；

（4）在平面上作一个半径为4的圆；

（5）若sinα＝cosα，则α＝45°

；

（6）2100是一个大数；

（7）垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？

（8）若x∈R，则x2＋2>

0.

[尝试解答]　

（1）是陈述句，且能判断真假，是命题．

（2）是陈述句，且能判断真假，是命题．

（3）当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．

（4）不是陈述句，不是命题．

（5）是陈述句，且能判断真假，是命题．

（6）是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．

（7）不是陈述句，不是命题．

（8）是陈述句，且能判断真假，是命题．

（1）一个语句是命题应具备两个条件：

一是陈述句；

二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

（2）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；

若不能，就不是命题．

（3）还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．

（4）数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．

练一练

1．下列语句中是命题的有________．（填序号）

①地球是太阳的一个行星．

②甲型H1N1流感是怎样传播的？

③若x，y都是无理数，则x＋y是无理数．

④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

⑤60x＋9>

4.

⑥求证：

是无理数．

解析：

根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④.

答案：

①③④

2．判断下列语句是否是命题，并说明理由．

（1）

是有理数；

（2）3x2≤5；

（3）梯形是不是平面图形呢？

（4）x2－x＋7>

解：

（1）“

是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

（3）“梯形是不是平面图形呢？

”是疑问句，所以它不是命题．

（4）因为x2－x＋7＝

＋

>

0，所以“x2－x＋7>

0”是真的，故是命题．

2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．（链接教材P3－例2、例3）

（1）等边三角形的三个内角相等；

（2）当a>

1时，函数y＝ax是增函数；

（3）菱形的对角线互相垂直．

[尝试解答]　

（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：

一个三角形是等边三角形，结论q：

它的三个内角相等．

（2）若a>

1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：

a>

1，结论q：

函数y＝ax是增函数．

（3）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：

四边形是菱形，结论q：

四边形的对角线互相垂直．

（1）对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

（2）在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>

b，则A>

B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．

3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．

（1）当a>

b时，有ac2>

bc2;

（2）实数的平方是非负实数；

（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

（4）已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3.

（1）若a>

b，则ac2>

bc2.

（2）若一个数是实数，则它的平方是非负实数．

（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．

（4）已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3.

3．判断下列各命题的真假，并说明理由．

（1）若a2>

b2，则a>

b；

（2）在△ABC中，当A>

60°

时，必有sinA>

（3）两个向量相等，它们一定是共线向量；

（4）直线y＝x与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝1相切．

[尝试解答]　

（1）假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>

b2，但a>

b不成立．

（2）假命题．例如，当A＝150°

时，A>

，但sinA＝

，不满足sinA>

.

（3）真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．

（4）假命题．圆心（1，－1）到直线y＝x的距离为d＝

1，所以直线与圆相离．

（1）判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

（2）一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：

若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；

判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．

4．下列命题中是真命题的是（　　）

A．若3∈A，3∈B，则A∩B＝{3}

B．若x2＋x－2＝0，则x＝1

C．若函数f（x）＝x2－x，则f（x）有最小值－

D．若log2x<

1，则x<

2

C

5．判断下列命题的真假，并说明理由．

（1）正方形既是矩形又是菱形；

（2）当x＝4时，2x＋1<

0；

（3）若x＝3或x＝7，则（x－3）（x－7）＝0；

（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

（1）是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

（2）是假命题，x＝4不满足2x＋1<

（3）是真命题，由x＝3或x＝7能得到（x－3）（x－7）＝0.

（4）是假命题，因为当等比数列的首项a1<

0，公比q>

1时，该数列为递减数列．

——————————————[课堂归纳·

感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.

（2）判断命题的真假性，见讲3.

3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

课时达标训练

（一）

[即时达标对点练]

题组1　命题的概念

1．下列语句中是命题的是（　　）

A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin0°

＝0

C．求x2－2x＋1>

0的解集

D．作△ABC∽△EFG

选B　A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．

2．以下语句中：

①{0}∈N；

②x2＋y2＝0；

③x2>

x；

④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

选B　①是命题，且是假命题；

②、③不能判断真假，不是命题；

④不是陈述句，不是命题．

题组2　命题的构成形式

3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．

若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

4．命题“若a>

0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）”的条件p：

________，结论q：

________．它是________命题（填“真”或“假”）．

0时，设a＝1，把（0，0）代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．

0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）　真

5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

（1）乘积为1的两个实数互为倒数；

（2）奇函数的图象关于原点对称；

（3）与同一直线平行的两个平面平行．

（1）“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．

p：

两个实数乘积为1，q：

两个实数互为倒数．

（2）“若一个函数为奇函数；

则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

一个函数为奇函数；

q：

函数的图象关于原点对称．

（3）“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

两个平面与同一条直线平行；

两个平面平行．

题组3　判断命题的真假

6．下列命题是真命题的是（　　）

A．所有质数都是奇数

B．若

，则a>

b

C．对任意的x∈N，都有x3>

x2成立

D．方程x2＋x＋1＝0有实根

选B　选项A错，因为2是偶数也是质数；

选项B正确；

选项C错，因为当x＝0时x3>

x2不成立；

选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<

0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．

7．下列命题中真命题有（　　）

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；

③互相包含的两个集合相等；

④空集是任何集合的真子集．

A．1个B．2个C．3个D．4个

选A　①中，当m＝0时，是一元一次方程；

②中当Δ＝4＋4a<

0时，抛物线与x轴无交点；

③是正确的；

④中空集不是本身的真子集．

8．下列命题中真命题的个数为（　　）

①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>

b，则a＋c>

b＋c;

④矩形的对角线互相垂直．

A．1B．2C．3D．4

选A　①错；

②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；

③正确；

④中矩形的对角线不一定互相垂直．

9．下列命题：

①y＝x2＋3为偶函数；

②0不是自