知识梳理与自测人教A版文科数学《高考专题突破四 高考中的立体几何问题》Word文档下载推荐.docx
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∴A1F∥AD.
∵A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,
∴直线A1F∥平面ADE.
思维升华
(1)平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;
而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.
(2)垂直问题的转化
在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.
跟踪训练1(2018·
北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:
PE⊥BC;
(2)求证:
平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:
EF∥平面PCD.
证明
(1)因为PA=PD,E为AD的中点,
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形,
所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,
所以PD⊥平面PAB.
又PD⊂平面PCD,
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.
因为F,G分别为PB,PC的中点,
所以FG∥BC,FG=BC,
因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
所以DE∥BC,DE=BC.
所以DE∥FG,DE=FG.
所以四边形DEFG为平行四边形,
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
题型二 立体几何中的计算问题
例2(2018·
湘东五校联考)如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,△A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1.
AB1∥平面A1C1C;
(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.
(1)证明 如图,取BC的中点D,连接AD,B1D,C1D,
∵B1C1∥BC,BC=2B1C1,
∴BD∥B1C1,BD=B1C1,CD∥B1C1,CD=B1C1,
∴四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,
∴C1D∥B1B,C1D=B1B,CC1∥B1D,
又B1D⊄平面A1C1C,C1C⊂平面A1C1C,
∴B1D∥平面A1C1C.
在正方形ABB1A1中,BB1∥AA1,BB1=AA1,
∴C1D∥AA1,C1D=AA1,
∴四边形ADC1A1为平行四边形,
∴AD∥A1C1.
又AD⊄平面A1C1C,A1C1⊂平面A1C1C,
∴AD∥平面A1C1C,
∵B1D∩AD=D,B1D,AD⊂平面ADB1,
∴平面ADB1∥平面A1C1C,
又AB1⊂平面ADB1,∴AB1∥平面A1C1C.
(2)解 在正方形ABB1A1中,A1B=,
∵△A1BC是等边三角形,∴A1C=BC=,
∴AC2+AA=A1C2,AB2+AC2=BC2,
∴AA1⊥AC,AC⊥AB.
又AA1⊥AB,∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥CD,
易得CD⊥AD,又AD∩AA1=A,∴CD⊥平面ADC1A1.
易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的,
直三棱柱ABD-A1B1C1的体积为×
×
1=,
四棱锥C-ADC1A1的体积为×
1×
=,
∴多面体ABCA1B1C1的体积为+=.
思维升华
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.
(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
跟踪训练2(2019·
广州调研)如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.
(1)证明:
平面PAC⊥平面PCE;
(2)若∠ABC=60°
,求三棱锥P-ACE的体积.
(1)证明 如图,连接BD,交AC于点O,
设PC的中点为F,连接OF,EF.
易知O为AC的中点,
所以OF∥PA,且OF=PA.
因为DE∥PA,且DE=PA,
所以OF∥DE,且OF=DE,
所以四边形OFED为平行四边形,
所以OD∥EF,即BD∥EF.
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为四边形ABCD是菱形,
所以BD⊥AC.
因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.
因为EF⊂平面PCE,
所以平面PAC⊥平面PCE.
(2)解 因为∠ABC=60°
,
所以△ABC是等边三角形,所以AC=2.
又PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以PA⊥AC.
所以S△PAC=PA×
AC=2.
因为EF⊥平面PAC,所以EF是三棱锥E-PAC的高.
易知EF=DO=BO=,
所以三棱锥P-ACE的体积V三棱锥P-ACE=V三棱锥E-PAC=S△PAC×
EF=×
2×
=.
题型三 立体几何中的探索性问题
例3如图,梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°
,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD.
DF⊥CE;
(2)若AC与BD相交于点O,那么在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?
并说明理由.
(1)证明 连接EB.∵在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°
,AB=AD=1,DC=2,
∴BD=,BC=,
∴BD2+BC2=CD2,
∴BC⊥BD.
又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面BDEF,∴BC⊥DF.
又∵正方形BDEF中,DF⊥EB,且EB,BC⊂平面BCE,EB∩BC=B,
∴DF⊥平面BCE.
又∵CE⊂平面BCE,∴DF⊥CE.
(2)解 在棱AE上存在点G,使得平面OBG∥平面EFC,且=.
理由如下:
连接OG,BG,在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°
,AB=1,DC=2,
∴AB∥DC,∴==.
又∵=,∴OG∥CE.
又∵正方形BDEF中,EF∥OB,
且OB,OG⊄平面EFC,EF,CE⊂平面EFC,
∴OB∥平面EFC,OG∥平面EFC.
又∵OB∩OG=O,且OB,OG⊂平面OBG,
∴平面OBG∥平面EFC.
思维升华对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.
跟踪训练3(2018·
全国Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?
说明理由.
(1)证明 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,
交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,
又DM⊂平面CMD,
故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BMC,
所以DM⊥平面BMC.
又DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解 当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.
证明如下:
连接AC,BD,交于点O.因为ABCD为矩形,
所以O为AC的中点.
连接OP,因为P为AM的中点,
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,
所以MC∥平面PBD.
1.如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°
,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.
平面BCD⊥平面ABC;
AF∥平面BDE.
证明
(1)∵平面ABC⊥平面ACDE,平面ABC∩平面ACDE=AC,CD⊥AC,CD⊂平面ACDE,
∴DC⊥平面ABC.
又DC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面ABC.
(2)如图,取BD的中点P,连接EP,FP,则PF∥DC,PF=DC,
∵EA∥DC,EA=DC,
∴EA∥PF,EA=PF,
∴四边形AFPE是平行四边形,
∴AF∥EP,
∵AF⊄平面BDE,EP⊂平面BDE,
∴AF∥平面BDE.
2.如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.
AE∥平面BDF;
(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?
若存在,确定点P的位置,并加以证明;
若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接AC交BD于点O,连接OF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点.
又F为EC的中点,∴OF∥AE.
又OF⊂平面BDF,
AE⊄平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(2)解 当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:
取BE的中点H,连接DP,PH,CH.
∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.
又AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,
CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,
∵BC=CE,且H为BE的中点,
∴CH⊥BE.
又CH∩CD=C,且CH,CD⊂平面DPHC,
∴BE⊥平面DPHC.
又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.
3.(2018·
江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
AA1=AB,AB1⊥B1
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