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<
希臘>
古代埃及人建造金字塔,表明他們有一定的幾何,三角知識。
後來希臘學者塔利斯遊埃及,利用相似三角形的道理測出金字塔的高。
這是西方三角測量的濫觴,雖然和我國陳子測日法比起來略遜一籌。
西方三角學的最早奠基者是依巴谷約公元前180年生於小亞細亞的比西尼亞,在今土耳其西北角的阿達帕扎勒附近,約公元前125年卒。
他是古希臘天文學家,以發現<
歲差>
著稱。
歲差就是春分點,在黃道上每年約逆行50分的現象。
他是仔細比較一個半世紀前提莫恰理斯關於角宿的觀測紀錄才發現這個現象的。
可見那時他以採用了經緯度來表示天球上星的位置,開始世座標制的先河。
另一方面,也說明當時已有相當精密的觀測。
他曾繪製了一張包含850個恆星的星圖表。
早期的三角學,是伴隨著天文學而產生的。
依巴谷為了天文觀測的需要,做了一個和現今三角函數表相仿的<
弦表>
,就是在固定的圓內,不同圓心角所對不同弦長的表。
相當於現在圓心角一半的正弦線的兩倍。
可惜這表沒有保存下來。
一般幾何教科書中的<
托勒密定理>
,實出自依巴谷之手,托勒密只是從他的書中摘出。
從這定理可以推出正弦,餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式。
托勒密是古代天文學的集大成者。
他繼承前閒特別是依巴谷的成就,加以整理發揮,編入他的<
天文集>
13菤中。
這書原名是<
數學論集>
,後來譯成阿拉伯文,在譯成拉丁文,變成Almagest的書名。
天文集是亞歷山大學派或整個古代天文學的總結,它的基本理論是地球中心說。
這包過從零度到九十度,每隔半度的弦表,其作用相當於從零度到九十度每隔四分之一度的正弦函數表。
值得注意的事,托勒密採用巴比倫人的60進制。
把圓周分為360度。
另一方面,又將半徑分為60等分,每一份分為60小分,每一小分再分為更小的份,以此類推。
把這些小分一次叫做第一小分,第二小分,後來小變成了分,第二變成了秒,這就是分秒名稱的來源。
托勒密取半徑的六十分之依舊為長度的單位,例如60度的弦長是60度,和90度對的弦長是
。
它利用圓內接正五邊形正十邊形的編長推導對36度和72度的弦長。
其他弦長根據托勒密定理來推導。
其實,托勒密定理已經得到與下列公式等價的關係。
托勒密獨出心裁地根據下列不等式來做內插計算
托勒密定半徑為60個單位,後來印度人定半徑為3438,中亞細亞民族定半徑為150,那皮爾定半徑為
一直到歐拉,才定半徑為1,開始用線段的比值作為三角函數的定義。
在這之前,三角函數實際上是在固定半徑的圓內個函數線的長。
梅內勞斯的<
球面論>
由於譯成阿拉伯文而保存了下來。
這書著重討論球面三角的性質。
得到若干屬於球角球面三角形的解法公式。
公元4世紀以後,希臘數學已成強弩之末。
歐洲中世紀三角學和其他科學一樣停滯不前。
但在別的地區卻有相當可觀的進展。
印度>
阿利耶毗陀是我們知道的最早的印度數學家。
他生於恆河南岸的巴連弗邑,或拘蘇摩補羅,在今印度東北部的巴特那附近。
他所著的書叫<
阿利耶毗陀曆書>
,包括天文表集,算數,時間的度量和球等部分。
阿利耶毗陀指出圓周率之值:
100加4再成8,再加62000,就得到直徑是20000的圓周長近似值。
即
這個圓周率是否得自中國的
,尚待探討。
三四世紀時,中國僧人到印度去尋求佛經的逐漸增多。
五世紀初法顯以後中印交通更加頻繁,我們有理由相信某些科學知識會流傳到印度去。
從時間上說,阿利耶毗陀比組沖之晚生47年,比劉徽晚兩個多世紀,大有借鑒的可能。
阿利耶毗陀對三角學的貢獻很大。
他製作一個正弦表,依照巴比倫人和希臘人的習慣,將圓周分為360度。
每度分為60分,整個圓周分為21600分。
再由
,可得半徑r=3437.746…,略去小數部分,取近似值得r=3438。
依此計算第一象限內每隔
的正弦長。
如sin
,sin
等。
這和希臘的托勒密有顯著的不同。
阿利耶毗陀默認曲線與直線可用同一單位來度量。
托勒密對這一點是猶豫不決的。
他定半徑為60個單位,是沿用60進位的習慣,和圓周長沒有關係。
也就是說,量弧長與量弦長,量半徑的單位是不同的。
但印度人則認為圓弧與弦長應用同一單位來度量。
整個圓周是21600單位,那們半徑就應該是3438個單位。
這裡包含著弧度制的思想。
弧度制的精隨,就是統一度量弧長與半徑的單位。
在同一個問題中採用兩種不同的單位是很不方便的。
如果有人給出一張桌子的尺寸:
嘗試1.23米,寬是2.56英尺,我們一定說他是自找麻煩。
然而寫出sin
這樣的式子卻習以為常,甚至還認為是理所當然的。
實際上左端的
可以看做弧長,它是以圓周長的
做單位的,而右端的0.5可以看做正弦線的長,它是以半徑做單位的。
60進制只是巴比倫遺留給我們的一種習慣,並不是很理想的一種制度。
60這個數是2,3,4,5,6,10,12,15,30這些常見數的倍數,但卻沒有給帶來多大的便利。
例如一個直角的四分之一或五分之一就不是整數。
弧度制量弧和量弦一率用半徑做單位,這和印度人定半徑為3438的精神是一致的。
印度人和希臘人另一個不同的地方,是計算半弦而不是全弦的長。
阿利耶毗陀稱半弦為jiva,是希臘人的弓弦的意思。
後來印度的書大量印成阿拉伯文,這個字音譯成dschiba,後來輾轉傳抄,誤成形狀相似的dschaib,意思是胸膛,海灣或凹處。
12世紀時,提佛利(義大利中部)地方的柏拉圖降這個字義譯成拉丁文sinus,這就是正弦一詞的來源。
它和當初印度人弓弦的意義已相去甚遠。
1631年鄧玉函與湯若望等人編的<
大測>
一書,譯sinus為正半弦或前半弦,簡稱為正弦,這是我國正弦這一術語的由來。
印度還用到正矢(versine)及餘弦。
根據簡單的理論做成每隔
的正弦表。
方法是用勾股定理算出特殊角
,
的正弦之後,再用半角公式計算較小角度的正弦。
婆什迦羅是10到16世紀印度最負盛名的科學家和天文學家,他曾給出sin
和cos
值得注意的是
是cos
的漸進分數。
但
卻不是sin
中亞細亞>
8世紀中葉,大食帝國分裂為東大食和西大食。
東大食以巴格達為首都,係大食以西班牙的哥爾多瓦為首都。
這時其著名的哈里發有阿爾蘇曼、阿爾馬蒙等。
他們是科學的熱心提倡者。
在他們的大力支持下,吸收了東方的印度和西方希臘的文化精華,出現了以巴格達為首的學術中心。
阿爾馬蒙在巴格達羅致名師,建立科學宮、觀象台,親自參加觀測,研究風氣大盛。
在他的領導之下,在美索不達米亞進行了兩次大地測量,目的是確定子午線的長度,所得的結果相當精確。
不過這次子午線實測已在我國南宮說測量之後90年了。
阿爾馬蒙在君士坦丁堡那裡得到大量的希臘哲學、醫學、數學、天文的手稿,陸續譯成阿拉伯文。
另一方面,印度的占星學、數學和醫學也流入了巴格達。
這時其居住在中亞細亞的各個民族出現了許多數學家。
除了代數方面的阿爾‧花拉子模(他曾參與子午線的測量)外,在三角方面貢獻最大的可以說是阿爾‧巴坦尼。
他是兩河流域巴坦地方的人,於是由此得名。
阿爾‧巴坦尼是著名的科學家,積40年實測的經驗,著<
星的科學>
>
一書。
定出較精密的黃赤交角及歲差的值,又測得地球遠日點的運動。
後來哥白尼轟動一時的<
天體運行論>
還常常引用阿爾‧巴坦尼的實測數值。
<
的拉丁文譯本將阿拉伯文的dschaib(彎凹)意譯成sinus,這就是”正弦”(sine)一詞的由來。
阿爾‧巴坦尼深知托勒密的天文學,但採用半弦代替托勒密的全弦,這顯然是受到印度人的影響,在運算和命題方面也有這種影響。
希臘人喜歡用幾何方法,而阿爾‧巴坦尼則常用代數方法。
他從
的式子推得
,藉此求出θ的值,這是希臘人所不知道的。
他還發現了重要的球面三角餘弦定律:
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.
阿爾‧巴坦尼豎立一根杆子在地上,求日影長b,乙測定太陽的仰角。
陰影b的拉丁譯名為”直陰影”,而水平插在牆上的杆投影在牆上的影長叫做”反陰影”。
”直陰影”後來變成”餘切”,”反陰影”叫做”正切”。
920年左右,阿爾‧巴坦尼造出自0°
到90°
相隔1°
的餘切表。
另一個三角學者是阿布爾‧威發,他是霍臘散今伊朗東地方的人。
也是著名的天文學家。
計算了每隔10`的正弦和正切表。
並首次引入正割與餘割,可惜這新的函數並沒有喚起當代人的注意。
奇怪的是,阿布爾‧威發的書完全不用印度數碼。
這樣著名的學者為什麼不用方便的印度數碼呢?
至今還是一個謎。
猜想,當時的數學家分為兩派,一派崇尚印度,一派趨附希臘,害者排斥印度數碼,阿布爾‧威發屬於這一派。
阿布爾‧威發在幾何方面也有成就,曾用幾何方法去解方程式x4+ax3=b。
11世紀以後,中亞細亞地區發生了一系列的變亂,1096年到1270年的十字軍東侵帶來了流血戰爭。
13世紀初又遭受成吉思汗的侵略。
1256年成吉思汗之孫旭烈兀進攻伊朗高原,1258年佔領了巴格達,嚴重摧毀了城市。
在這兵禍連年的歲月裡,科學的停滯是不足為奇的。
無論如何,這時其仍然屹立著一些卓越的學者。
阿賽拜疆的天文家納速拉丁是士斯地方的人。
很得旭烈兀的信賴。
旭烈兀接受了他的建議,1259年在馬臘格建造一所巨大的天文台,其中有優良的儀器。
納速拉丁積十餘年的觀測,編成<
伊兒汗歷>
旭烈兀從中國待了幾個天文學家到伊朗去,納速拉丁從這裡知道中國的曆法。
納速拉丁是很全面的學者,著有三角、天文、幾何、星盤等方面的書。
三角方面,納速拉丁指出,由球面三角形的三個角,可以求得三邊,或由三邊求三個角。
這個事實可以作為平面三角與球面三角差異的重要標誌。
在西歐直到里基奧蒙田納斯才知道。
納速拉丁和更早的阿夫拉開始使三角學脫離天文學而獨立。
而歐洲人直到15世紀才完成這同一工作。
數學史家蘇特感慨的說:
”假如15世紀歐洲的三角學者早知道他們的研究,不知還有沒有插足的餘地?
”
14世紀末夜,蒙古帝國崩潰以及隨之而起的封建內亂時期,中亞細亞出現了一個跛子帖木兒,原是成吉思汗的後裔。
他把察哈台汗國原有的地方統一起來,向外擴展,建立帖木兒帝國,建都在撒馬爾干。
帖木兒的孫子兀魯伯特別愛好天文。
在未即王位時就在撒馬爾干建立一座當時世界上規模最大的天文台。
在他的宮廷和天文台中聚集了一百多名學者,組織無與倫比的天文觀測和數學用表的計算。
他的正弦表精確到小數9位。
又造0°
到45°
之間每隔1`,45°
到0°
之間每隔5`的正切表。
在兀魯伯的領導下,根據多年的觀測,編制了<
兀魯伯恆星表>
牛津大學在印刷術的糙創時期就翻印了這本恆星表,以後又在各國翻印多次,其世界聲譽由此可見。
在兀魯
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