离散数学第二章一阶逻辑知识点总结Word下载.docx
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多元谓词(n元谓词,n2):
表示事物之间的关系
如L(x,y):
x与y有关系L,L(x,y):
xy,…
0元谓词:
不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项
量词:
表示数量的词
全称量词:
表示任意的,所有的,一切的等
如x表示对个体域中所有的x
存在量词:
表示存在,有的,至少有一个等
如x表示在个体域中存在x
一阶逻辑中命题符号化
例1用0元谓词将命题符号化
要求:
先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化
(1)墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中,设p:
墨西哥位于南美洲
符号化为p,这是真命题
在一阶逻辑中,设a:
墨西哥,F(x):
x位于南美洲
符号化为F(a)
例2在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1)
人都爱美;
(2)有人用左手写字
分别取(a)D为人类集合,(b)D为全总个体域.
解:
(a)
(1)设G(x):
x爱美,符号化为xG(x)
(2)设G(x):
x用左手写字,符号化为xG(x)
(b)设F(x):
x为人,G(x):
同(a)中
(1)x(F(x)G(x))
(2)x(F(x)G(x))
这是两个基本公式,注意这两个基本公式的使用.
例3在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1)正数都大于负数
(2)有的无理数大于有的有理数
解注意:
题目中没给个体域,一律用全总个体域
(1)令F(x):
x为正数,G(y):
y为负数,L(x,y):
x>
y
x(F(x)y(G(y)L(x,y)))或
xy(F(x)G(y)L(x,y))两者等值
(2)令F(x):
x是无理数,G(y):
y是有理数,
L(x,y):
x>
x(F(x)y(G(y)L(x,y)))
或xy(F(x)G(y)L(x,y))两者等值
几点注意:
1元谓词与多元谓词的区分
无特别要求,用全总个体域
量词顺序一般不能随便颠倒
否定式的使用
思考:
①没有不呼吸的人
②不是所有的人都喜欢吃糖
③不是所有的火车都比所有的汽车快
以上命题应如何符号化?
2.2一阶逻辑合式公式及解释字母表
定义字母表包含下述符号:
(1)个体常项:
a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i1
(2)个体变项:
x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i1
(3)函数符号:
f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i1
(4)谓词符号:
F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i1
(5)量词符号:
(6)联结词符号:
,,,
(7)括号与逗号:
(,),,
定义项的定义如下:
(1)个体常项和个体变项是项.
(2)若(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数,t1,t2,…,tn
是任意的n个项,则(t1,t2,…,tn)是项.
(3)所有的项都是有限次使用
(1),
(2)得到的.
个体常项、变项是项,由它们构成的n元函数和复
合函数还是项
定义设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词,t1,t2,…,tn
是任意的n个项,则称R(t1,t2,…,tn)是原子公式.
原子公式是由项组成的n元谓词.
例如,F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
定义合式公式(简称公式)定义如下:
(1)原子公式是合式公式.
(2)若A是合式公式,则(A)也是合式公式
(3)若A,B是合式公式,则(AB),(AB),(AB),
(AB)也是合式公式
(4)若A是合式公式,则xA,xA也是合式公式
(5)只有有限次地应用
(1)~(4)形成的符号串是合
式公式.
请举出几个合式公式的例子.
定义在公式xA和xA中,称x为指导变元,A为相
应量词的辖域.在x和x的辖域中,x的所有出现都
称为约束出现,A中不是约束出现的其他变项均称
为是自由出现的.
例如,在公式x(F(x,y)G(x,z))中,
A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域,
x为指导变元,A中x的两次出现均为约束出现,
y与z均为自由出现.
闭式:
不含自由出现的个体变项的公式.
给定公式A=x(F(x)G(x))
成真解释:
个体域N,F(x):
2,G(x):
1
代入得A=x(x>
2x>
1)真命题
成假解释:
1,G(x):
2
1x>
2)假命题
问:
xF(x)xF(x)有成真解释吗?
xF(x)xF(x)有成假解释吗?
被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分.
闭式在任何解释下都是命题,
注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.
永真式(逻辑有效式):
无成假赋值
矛盾式(永假式):
无成真赋值
可满足式:
至少有一个成真赋值
几点说明:
永真式为可满足式,但反之不真
谓词公式的可满足性(永真性,永假性)是不可判
定的
利用代换实例可判某些公式的类型
定义设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,
A1,A2,…,An是n个谓词公式,用Ai处处代替A0中的pi
(1in),所得公式A称为A0的代换实例.
例如:
F(x)G(x),xF(x)yG(y)等都是pq的换实例,
x(F(x)G(x))等不是pq的代换实例.
定理重言式的代换实例都是永真式,矛盾式的代
换实例都是矛盾式.
2.3一阶逻辑等值式
等值式定义若AB为逻辑有效式,则称A与B是等值的,
记作AB,并称AB为等值式.
基本等值式:
命题逻辑中16组基本等值式的代换实例
如,xF(x)yG(y)xF(x)yG(y)
(xF(x)yG(y))xF(x)yG(y)等
消去量词等值式设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x)xA(x)
xA(x)xA(x)
量词分配等值式
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意:
对无分配律,对无分配律
例将下面命题用两种形式符号化
(1)没有不犯错误的人
(2)不是所有的人都爱看电影
解
(1)令F(x):
x是人,G(x):
x犯错误.
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
请给出演算过程,并说明理由.
(2)令F(x):
爱看电影.
给出演算过程,并说明理由.
前束范式定义设A为一个一阶逻辑公式,若A具有如下形式
Q1x1Q2x2…QkxkB,则称A为前束范式,其中Qi(1ik)
为或,B为不含量词的公式.
例如,xy(F(x)(G(y)H(x,y)))
x(F(x)G(x))
是前束范式,而
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
不是前束范式.
定理(前束范式存在定理)一阶逻辑中的任何公
式都存在与之等值的前束范式
注意:
公式的前束范式不惟一
求公式的前束范式的方法:
利用重要等值式、
置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.
换名规则:
将量词辖域中出现的某个约束出现的
个体变项及对应的指导变项,改成其他辖域中未
曾出现过的个体变项符号,公式中其余部分不变,
则所得公式与原来的公式等值.
代替规则:
对某自由出现的个体变项用与原公式
中所有个体变项符号不同的符号去代替,则所得公
式与原来的公式等值.
例求下列公式的前束范式
(1)x(M(x)F(x))
解x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x))(量词否定等值式)
x(M(x)F(x))
两步结果都是前束范式,说明前束范式不惟一.
(2)xF(x)xG(x)
解xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)(量词否定等值式)
x(F(x)G(x))(量词分配等值式)
另有一种形式
xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)
xF(x)yG(y)(换名规则)
xy(F(x)G(y))(量词辖域扩张)
两种形式是等值的
(3)xF(x)xG(x)
解xF(x)xG(x)
x(F(x)G(x))(为什么?
)
或xy(F(x)G(y))(为什么?
(4)xF(x)y(G(x,y)H(y))
解xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y))(换名规则)
zy(F(z)(G(x,y)H(y)))(为什么?
或
xF(x)y(G(z,y)H(y))(代替规则)
xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
(5)x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))
解用换名规则,也可用代替规则,这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))
x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))
xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))
x与y不能颠倒
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