中科院数值分析-肖良Ch4_精品文档资料下载.pdf
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h2f(a)+f(a+h)误差公式:
16h3fa,a+h2,a+h=h32f(a+h2)f(a)f(a+h)。
第四章数值微积分5/89.当f为次数不超过1的多项式时,上述公式为完全展开式,没有余项。
即求积公式是准确成立的。
一般地,在a,b适当选取节点xk,然后用f在各节点的值、导数值的线性组合来表示积分的近似值。
近似公式称为求积公式。
组合系数仅与节点xk选取有关,与f无关。
第四章数值微积分6/89.本课主要讨论以下的求积公式baf(x)dxnk=0Akf(xk)式中xk称为求积节点,Ak称为求积系数。
求积公式的精度可以用代数的方法刻划。
第四章数值微积分7/89.二、代数精度定义如果某个求积公式对次数不高于m的多项式均能准确成立,但对m+1次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度(或称代数精确度)。
例:
梯形公式具有1次代数精度。
第四章数值微积分8/89.要证求积公式至少具有m次代数精度,只要令它对f(x)=1,x,xm都能准确成立即可。
Ak=baAkxk=12(b2a2).Akxmk=1m+1(bm+1am+1)第四章数值微积分9/89.例:
给定形如10f(x)dxA0f(0)+A1f
(1)+B0f(0)的求积公式,试确定系数A0,A1,B0,使公式具有尽可能高的代数精度。
解:
令f(x)=1,x,x2分别代入求积公式使它精确成立:
A0+A1=1,A1+B0=12,A1=13。
第四章数值微积分10/89.解得A0=23,A1=13,B0=16,于是10f(x)dx23f(0)+13f
(1)+16f(0)。
当f(x)=x3时,上式左端=14,右端=13,故求积公式对f(x)=x3不精确成立,其代数精度为2。
第四章数值微积分11/89.三、插值型求积公式P(x)是f(x)的插值多项式:
P(x)f(x)baf(x)dxbaP(x)dx1.两个节点x0=a,x1=b:
P1(x)=xabaf(b)+xbabf(a)baf(x)dxba(xabaf(b)+xbabf(a)dx=ba2(f(a)+f(b)第四章数值微积分12/89.即:
梯形公式。
2.三个节点:
x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,P2(x)=(xx1)(xx2)(x0x1)(x0x2)f(a)+(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)f(a+b2)+(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)f(b)baP2(x)dx=ba6(f(a)+4f(a+b2)+f(b)Simpson公式baf(x)dxba6(f(a)+4f(a+b2)+f(b)第四章数值微积分13/89.记I(f)=baf(x)dxI(f)=ba6(f(a)+4f(a+b2)+f(b)直接计算得I
(1)=ba=I
(1),I(x)=12(b2a2)=I(x),I(x2)=13(b3a3)=I(x2),I(x3)=14(b4a4)=I(x3),I(x4)I(x4)=1120(ba)5第四章数值微积分14/89.3.插值型求积公式n+1个节点ax0xnb已知f,作插值多项式Pn(x)=f(xk)lk(x),baPn(x)dx=Akf(xk)式中Ak=balk(x)dx。
如此构造的求积公式baf(x)dxnk=0Akf(xk)称为插值型的。
第四章数值微积分15/89.定理:
求积公式baf(x)dxnk=0Akf(xk)至少有n次代数精度的充要条件是,它是插值型的。
第四章数值微积分16/89.四、求积公式的余项第一积分中值定理:
设fCa,b,则存在(a,b),使得baf(x)dx=f()(ba)。
第二积分中值定理:
设f,gCa,b,并且假设g在a,b内不变号,则存在(a,b),使得baf(x)g(x)dx=f()bag(x)dx。
第四章数值微积分17/89.梯形公式的余项定理:
若f(x)C2a,b,则:
RT(f)=baf(x)dxba2(f(a)+f(b)=(ba)312f(),(a,b)第四章数值微积分18/89.证:
RT(f)=ba(f(x)P1(x)dx=bafx,a,b(xa)(xb)dx=(ba)36f,a,b=(ba)312f()第四章数值微积分19/89.辛普森公式的余项定理:
若f(x)C4a,b,则:
RS(f)=baf(x)dxba6(f(a)+4f(a+b2)+f(b)=(ba)52880f(4)(),(a,b)第四章数值微积分20/89.证:
由辛普森公式代数精度为3,取Hermite插值满足P3(a)=f(a),P3(a+b2)=f(a+b2)P3(a+b2)=f(a+b2),P3(b)=f(b)RS(f)=ba(f(x)P3(x)dx=f,a,a+b2,a+b2,bba(xa)(xa+b2)2(xb)dx=(ba)52880f(4)()第四章数值微积分21/89.更一般地,若求积公式代数精度为m,可以证明余项R(f)=I(f)I(f)=K(ba)m+2f(m+1)()K与a,b,f无关的常数。
K的值可通过代入f=xm+1得到。
此时,误差主项为K(ba)m+2f(m+1)(a)。
第四章数值微积分22/89.例:
梯形公式的余项I(f)=baf(x)dxba2(f(a)+f(b)=I(f)解:
梯形公式代数精度为1,I(x2)I(x2)=13(b3a3)ba2(a2+b2)=16(a33a2b+3ab2b3)=112(ba)3(x2)()K=1/12。
Rf=(ba)312f(),(a,b)。
第四章数值微积分23/89.例:
中矩形公式的余项I(f)=baf(x)dx(ba)f(a+b2)=I(f)解:
中矩形公式代数精度为1,I(x2)I(x2)=13(b3a3)(ba)(a+b2)2=112(ba)3=124(ba)3(x2)()K=1/24。
Rf=(ba)324f(),(a,b)。
第四章数值微积分24/89.例:
求积公式10f(x)dx23f(0)+13f
(1)+16f(0)的余项。
求积公式代数精度为2,余项表达式为R=Kf()。
令f(x)=x3,得f()=3!
=6,于是K=16I(f)I(f)=172。
Rf=172f(),(0,1)。
第四章数值微积分25/89.五、求积公式的收敛性与稳定性定义:
在求积公式中,若limn,h0nk=0Akf(xk)=baf(x)dx,其中h=max1inxixi1,则称求积公式是收敛的。
稳定性是指初始数据的误差不会引起计算结果误差增大。
第四章数值微积分26/89.2牛顿-柯特斯公式一、柯特斯系数将a,b划分n等份,步长h=(ba)/n,节点xi=a+ih,i=0,1,n。
插值型求积公式In=(ba)nk=0C(n)kf(xk)称为牛顿-柯特斯公式,第四章数值微积分27/89.C(n)k为柯特斯系数。
C(n)k与被积函数和区间无关。
nk=0C(n)k=1。
当n7时,C(n)k均为正。
C(8)30。
第四章数值微积分28/89.nC(n)k112122162316318383818479016452151645790.第四章数值微积分29/89.牛顿-柯特斯求积公式的代数精度:
当n为奇数时,代数精度为n;
当n为偶数时,代数精度为n+1。
特别,I2和I3代数精度都为3。
常用的牛顿-柯特斯求积公式是梯形公式I1,Simpson公式I2,柯特斯公式I4。
第四章数值微积分30/89.3复合求积公式由于牛顿-柯特斯公式在n8时不具有稳定性,故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。
为提高精度可把积分区间分成若干子区间(通常是等分),再在每个小区间上用低阶求积公式,这种方法称为复合求积法,本节只讨论复合梯形公式和复合辛普森公式。
第四章数值微积分31/89.一、复合梯形公式设fC2a,b,将区间a,b划分成n等分,分点xk=a+kh,k=0,1,n,步长h=(ba)/n,在每个小区间xk,xk+1上采用梯形公式,第四章数值微积分32/89.I=baf(x)dx=n1k=0xk+1xkf(x)dx=h2n1k=0f(xk)+f(xk+1)+Rn(f)复化梯形公式Tn=n1k=0h2(f(xk)+f(xk+1)=h2f(a)+2n1k=1f(xk)+f(b)第四章数值微积分33/89.余项Rn(f)=ITn=n1k=0h312f(k),k(xk,xk+1)由于f(x)C2a,b,且min0kn1f(k)1nn1k=0f(k)max0kn1f(k)所以存在(a,b)使f()=1nn1k=0f(k)第四章数值微积分34/89.于是Rn(f)=ba12h2f(),(a,b)当f(x)C2a,b时,误差是h2阶的,limnTn=baf(x)dx,即复合梯形公式收敛。
注:
f(x)Ca,b,复合梯形公式也收敛。
Tn=12bann1k=0f(xk)+bannk=1f(xk)baf(x)dx第四章数值微积分35/89.由于Tn中求积系数为正,故复合梯形公式,计算稳定。
余项:
fC2a,b时,TnICh2,其中C=112baf(x)dx。
故:
R2n=13(TnT2n)可做误差估计。
第四章数值微积分36/89.二、复合辛普森求积公式设fC4a,b,将区间a,b划分成n等分,分点xk=a+kh,k=0,1,n,步长h=(ba)/n,在每个小区间xk,xk+1上采用辛普森公式,第四章数值微积分37/89.记xk+1/2=xk+12h。
I=baf(x)dx=n1k=1xk+1xkf(x)dx=h6n1k=0f(xk)+4f(xk+1/2)+f(xk+1)+Rn(f)记Sn=h6n1k=0f(xk)+4f(xk+1/2)+f(xk+1)=h6f(a)+4n1k=0f(xk+1/2)+2n1k=1f(xk)+f(b)称为复合辛普森公式,第四章数值微积分38/89.余项为Rn(f)=ISn=h52880n1k=0f(4)(k)=ba2880h4f(4)(),(a,b)即当fC4a,b时,误差阶是h4,limnSn=baf(x)dx。
即复合辛普森公式收敛。
第四章数值微积分39/89.注:
f(x)Ca,b,复合辛普森公式也收敛。
Snbaf(x)dx由于Sn中求积系数为正,故复合辛普森公式计算稳定。
fC4a,b时,SnICh4,其中C=12880baf(4)dx。
R2n=115(SnS2n)可做误差估计。
第四章数值微积分40/89.例:
根据函数表kxkf(xk)=sinxk
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