安徽大学2014第二学期量子力学期末试题(几乎全原题)资料下载.pdf
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6分a.dxieeaeiaxiaxaaxippxx222122=hhdxeeiaxpaxixpaxixx41)()/()(21hhh+=)
(1)(14122)(22)(aaxpaixaaxpaixxxepaiepaiai+=hhhhh2221)(22sin)2()(41xxpaaapia+=hhhh该态中粒子动量可能测得值为xpb.)(12sin0)(22222xxxxxpaapdpddppd=hh0)(42sin2cos422=+xxxxpapapapahhhh02sin2cos)(22=+apapappaxxxxhhhh有解apxh=c.axxaxpapaaiphhhhh22cos2)()(23=发现粒子在xdpaa+hh区间中的几率为xxdpadpahh1)(2=d.xtmpipixdpeptxxx=hhh2212)2
(1)(),(33a.粒子在二维无限深方势阱中运动,=其它区域,0,0,0ayaxV,求解出能级和能量本征函数(能量最低的两个态);
b.加上微扰yH=求解最低的两个能级的一级微扰修正。
解:
(1)能级和能量本征函数为()Lh,)(321=+2=212221222021nnnnmaEnn),(,sinsin221)0(21下同阱内aynaxnann=基态是非简并的,能级)(011E,本征函数为ayaxasinsin2)0(11=。
第一激发态是二重简并的,能级)(012E,本征函数为=22=22=021012ayaxaayaxasinsinsinsin)()
(2)基态能级的一级修正等于H的平均值,即=aaadxdyayaxyaHE00222)0(11)0(11)1(112sinsin4。
对于和,容易算出H的矩阵元为2481256,2aHHaHH=。
在,子空间中,H的矩阵表示为181102481102414=442aH。
由0=112)(detEH,可解得),(=()2175028250=13014=81102414=2242112.)(aaaHHE。
结论:
在微扰作用下,基态能级升高42a,第一激发能级的重心也升高42a,同时分裂为二,裂距为0.065()2a。
44求轨道角动量1=l的情况下,相应zyxlll,在()zll,2表象中:
a.zl的矩阵表示;
b.zl的本征矢;
c.yxll,矩阵表示。
a.由于轨道角动量1=l的情况下任意方向上的分量测量可取三个数值,h,0,即本征值有h,0三个,所以zyxlll,可用33矩阵表示。
若选()zll,2作为力学量完全集,即取()zll,2表象,那zl在自身表象中的表示自然为对角矩阵,而对角元就是它的本征值=100000001)(hzl
(1)b.zl本征矢1,1,=zll,0,1,=zll,1,1,=zllzzlllllll,)1(,22h+=zzzzllllll,h=其对应的表示为001,010,100c.yxll,在()zll,2表象中的矩阵表示我们知道,这只要将yxll,作用于()zll,2的基矢并以()zll,2基矢展开,从展开系数来获得。
由yxzlill,h=,xyzlill,h=,+=lllz,h因此zzzzllllllll,)(,h+=+zzllll,)1(+=h1,+=+zzllAlll由2,Allllllzz=+zzzzlllllll,22h=2222)1(hhhzzllll+=2)1)(h+=zzllll)1)(+=zzllllAh即1,)1)(,+=+zzzzlllllllllh同理可得1,)1)(,+=zzzzlllllllllh而()+=lllx21,故1,)1)(1,)1)(2,+=zzzzzzzxlllllllllllllllh0,121,1h=xl,1,120,1h=xl,0,121,1h=xl得系数矩阵为0101010102h,转置得=0101010102)(hxl
(2)由于对易式不随表象而变,故利用对易式yxzlill,h=以及
(1),
(2),即得()=0i0i0i0i02i1)(zxxzyhhlllll(3)55一质量为m的粒子在一维势箱ax=axaxaxxxV0,2,0,)(
(1)中运动,甚小,试求基态能量准确到2的修正值以及应满足的条件。
本题,一维无限深势阱,微扰取2=axH
(2)xanaanEnnsin2,2)0(2222)0(=h。
(3)求到二级,矩阵元一般形式222=22=0lnadxaxlaxaxnalHnasinsinsinsin(4)基态,1=n。
一级修正aHE2=11=11)(。
(5)二级修正)(sin)()()()(20121122001221124=1=lElaEElHElll122221222212118=1218=llllll)()()(coshh。
a)当l为偶数时,0=11l)(,这时0=21)(E;
b)当l为奇数时,令,L321=1+2=kkl上式给出2221=2221=222212=1+112=1+418=hhhkkkkkkE)()((6)222222122+2=hhaaE(7)由)()()(011121EEE,可得a22h(8)10.10.考虑在无限深势阱(ax0)中运动的两电子体系,略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用,求体系的基态和第一激发态的波函数和能量,并指出其简并度。
二电子体系,总波函数反对称。
一维势阱中,体系能级为()Lh,21=+2=21222122221nnnnaEnn
(1)基态:
22211=aEh。
空间部分波函数是对称的:
2=21=1111xanansin,)()(。
自旋部分波函数是反对称的:
)()()()(122121=00。
总波函数)()()()()()()()(2211221121=11110011。
(2)第一激发态:
2221225=aEh。
空间部分波函数:
)1()2()2()1(212121+=S,)1()2()2()1(212121=A。
自旋部分波函数:
12+21212121=21)()()()()()()()(),(S,)()()()(),(122121=21A。
二电子体系的总波函数122112+2121=12+21212121122121=21212121)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ASSA基态不简并,第一激发态是四重简并的。
11.11.在时间0=t时,一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态:
)()(33)(31)0,(3320xucxuxux+=,式中)(xun是振子的第n个本征函数。
(1)试求3c的数值;
(2)写出在t时刻的波函数;
(3)在0=t时振子能量的平均值是多少?
10=t秒时呢?
(1),13331222=+c得35=c。
(2)tttexuexuexutxhhh273252210)(35)(33)(31),(+=。
(3)在0=t时振子能量的平均值是hhhh217352733253121222=+=E。
10=t秒时振子能量的平均值也是h217。
12.12.若)(xun是H的本征态,相应本征值为nE,即nnnuEuH=,求证nnnuaEuaH)(h=证:
()()xuExuHaaaaHnnn=+=+,1,21hQ()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuaEuauEauauHauauaaauauuaaauuauaaaaaaauuaaauuaaauaauaH21a21a211a211a21a21hhhhhhhhhhhQhhhhh=+=+=+=+=+=+=+证毕13.粒子在二维无限深方势阱中运动=其余区域,a0,0,0),(yaxyxV求粒子的能级和波函数,能级存在筒并?
定态S.eq为()()()yxEyxyxVm,2-22=+h势阱内()0,=yxV,则有()()yxEyxm,2-22=h令()()()yYxXyx=,,则有()()()()EyYyYdydmxXxXdxdm=+2222222-2-hh令()()12222-ExXxXdxdm=h,则()()xXExXdxdm12222-=h由边界条件()()00=aXX,得归一化解()=3,2,1,2,sin21212221111nnmaEaxnaxXnnh由()()yYEyYdydm22222-=h与边界条件()()00=aYY,得归一化解()=3,2,1,2,sin22222222222nnmaEaynaxYnnh故粒子的能级和波函数分别为()=+=+=3,2,1,2212221222212121nnnnmaEEEnn,nnh()()ayaxaynaxnayYxXnn=0,0,sinsin221,21若21nn=,能级不筒并;
若21nn,能级筒并度为满足Emann22222212h=+条件的正整数解()21nn,的个数(能级一般为二重筒并)。
例如基态是非筒并的,能级2221,1Emah=,本征函数为=ayaxasinsin21,1;
第一激发态是二重筒并的,能级2222,125maEh=,本征函数为=ayaxa2sinsin22,1,=ayaxasin2sin21,214.平面转子处于()cos0,A=态,
(1)求zL的可能取值及平均值;
(2)求转动能可能取值及平均值。
解:
已知平面转子的本征态为imme21=(,.2,1,0=m),相应转动能本征值ImmE222h=,此外imme21=也是zL的本征态,即zLmmmh=,()cos0,A=2+=iieeA()222+=iieeA122122+=AA归一化后,()1122220,+=zL的可能取值为hh,,平均值为()02121=+hhILz22转动能可能取值为I22h,平均值为III2222212212hhh=+。
15.若系统的哈密顿算符H与某个力学量I反对易,即:
0,=+HIIHIH,设E为H的本征态,本征值为E,如果0EI,试证EI也是H的本征态,本征值为E。
证,0,=+HIIHIHQIHHI=则EIH=EHI=EEI(EEEH=Q)=EIE又0EIQ,故EI也是H的本征态,且本征值为E,证毕。
16.求自旋为21相应zyxS,S,S在()zSS,2表象中:
a.zS的矩阵表示;
b.zS的本征矢;
c.yxSS,矩阵表示。
a.由于自旋为21在任意方向上的分量测量可取二个数值,2h,即本征值有2h二个,所以zyxS,S,S可用22矩阵表示。
若选()zSS,2作为力学量完全集,即取()zSS,2表象,那zS在自身表象中的表示自然为对角矩阵,而对角元就是它的本征值=10012)(hzS
(1)b.zS本征矢21,21
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