大学生数学竞赛真题非数学类资料下载.pdf

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二、（二、（1515分）设函数分）设函数（）fx在在（,）+上具有二阶导数，并且上具有二阶导数，并且（）0,lim（）0,lim（）0,xxfxfxfx+=且存在一点且存在一点0x，使得，使得0（）0fx。

三、三、（1515分）设函数分）设函数（）yfx=由参数方程由参数方程22

（1）（）xtttyt=+=所确定，其中所确定，其中（）t具有二具有二阶导数，曲线阶导数，曲线（）yt=与与22132tuyedue=+在在1t=出相切，求函数出相切，求函数（）t。

四、（四、（1515分）设分）设10,nnnkkaSa=证明：

证明：

（11）当）当1时，级数时，级数1nnnaS+=收敛；

收敛；

（22）当）当1且且（）nsn时，级数时，级数1nnnaS+=发散发散。

五、（五、（1515分）设分）设l是过原点、方向为是过原点、方向为（,），（其中，（其中2221）+=的直线，均匀椭的直线，均匀椭球球2222221xyzabc+，其中（，其中（0,cba密度为密度为11）绕）绕l旋转。

旋转。

（11）求其转动惯量；

）求其转动惯量；

（22）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向（,）的最大值和最小值。

的最大值和最小值。

六、六、（15（15分分）设函数设函数（）x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线上，曲线积分积分422（）cxydxxdyxy+的值为常数。

的值为常数。

（11）设）设L为正向闭曲线为正向闭曲线22

（2）1,xy+=证明证明422（）0;

cxydxxdyxy+=+（22）求函数）求函数（）x；

（33）设）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422（）cxydxxdyxy+。

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一一计算下列各题（本题共计算下列各题（本题共33小题，每小题各小题，每小题各55分，共分，共1515分）分）

（1）.求11cos0sinlimxxxx；

（2）.求111lim.12nnnnn+；

（3）已知（）2ln1arctanttxeyte=+=，求22dydx。

二（本题二（本题1010分）求方程分）求方程（）（）2410xydxxydy+=的通解的通解。

三（本题三（本题1515分）设函数分）设函数f（x）f（x）在在x=0x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且的某邻域内具有二阶连续导数，且（）（）（）0,0,0fff均不为均不为00，证明：

存在唯一一组实数，证明：

存在唯一一组实数123,kkk，使得，使得（）（）（）（）12320230lim0hkfhkfhkfhfh+=。

四（本题17分）设2221222:

1xyzabc+=，其中0abc，2222:

zxy=+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五（本题五（本题1616分）已知分）已知SS是空间曲线是空间曲线22310xyz+=绕绕yy轴旋转形成的椭球面的上半部轴旋转形成的椭球面的上半部分（分（0z）取上侧，）取上侧，是是SS在在（）,Pxyz点处的切平面，点处的切平面，（）,xyz是原点到切是原点到切平面平面的距离，的距离，,表示表示SS的正法向的方向余弦。

计算：

的正法向的方向余弦。

（11）（）,SzdSxyz；

（；

（22）（）3SzxyzdS+六（本题12分）设f（x）是在（）,+内的可微函数，且（）（）fxmfx、，其中01m，任取实数0a，定义（）1ln,1,2,.,nnafan=证明：

（）11nnnaa=绝对收敛。

七七（本题（本题1515分）是否存在区间分）是否存在区间0,2上的连续可微函数上的连续可微函数f（x）f（x），满足，满足（）（）021ff=，（）（）201,1fxfxdx、？

请说明理由。

？

2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）

（1）求极限21）!

（limnnn

（2）求通过直线=+=+034550232:

zyxzyxl的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点）1,3,4（。

（3）已知函数byaxeyxuz+=）,（，且02=yxu。

确定常数a和b，使函数）,（yxzz=满足方程02=+zyzxzyxz（4）设函数）（xuu=连续可微，1）2（=u，且udyuxudxyx）（）2（3+在右半平面与路径无关，求）,（yxu。

（5）求极限dttttxxxxcossinlim13+二、（本题10分）计算dxxexsin20+三、求方程50121sin2=xxx的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数）（xfy=二阶可导，且0）（xf，0）0（=f，0）0（=f，求uxfufxx330sin）（）（lim，其中u是曲线）（xfy=上点）（,（xfxP处的切线在x轴上的截距。

五、（本题12分）求最小实数C，使得满足1）（10=dxxf的连续函数）（xf都有Cdxxf）（10六、（本题12分）设）（xf为连续函数，0t。

区域是由抛物面22yxz+=和球面2222tzyx=+）0（z所围起来的部分。

定义三重积分dvzyxftF）（）（222+=求）（tF的导数）（tF七、（本题14分）设nna=1与nnb=1为正项级数，证明：

（1）若（）01lim11+nnnnnbbaa，则级数nna=1收敛；

（2）若（）01lim11+nnnnnbbaa，且级数nnb=1发散，则级数nna=1发散。

2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、一、解答下列各题（每小题解答下列各题（每小题6分共分共24分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤）1.求极限（）2lim1sin14nnn+.2.证明广义积分0sinxdxx+不是绝对收敛的3.设函数（）yyx=由323322xxyy+=确定，求（）yx的极值。

4.过曲线（）30yxx=上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。

二、（满分二、（满分12）计算定积分）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx=+三、（满分三、（满分12分分）设）设（）fx在在0x=处存在二阶导数处存在二阶导数（）0f，且，且（）0lim0xfxx=。

证明证明：

级数：

级数11nfn=收敛。

收敛。

四、（满分四、（满分12分）设分）设（）（）（）,0fxfxaxb，证明证明（）2sinbafxdxm五、（满分五、（满分14分）设分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。

给定第二是一个光滑封闭曲面，方向朝外。

给定第二型的曲面积分型的曲面积分（）（）（）33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy=+。

试确定曲面。

试确定曲面，使积分使积分I的值最小，并求该最小值。

的值最小，并求该最小值。

六、（满分六、（满分14分）设分）设（）（）22aaCydxxdyIrxy=+，其中其中a为常数，曲线为常数，曲线C为椭为椭圆圆222xxyyr+=，取正向。

求极限，取正向。

求极限（）limarIr+七（满分（满分14分）判断级数分）判断级数（）（）1111212nnnn=+L的敛散性，若收敛，求其和。

的敛散性，若收敛，求其和。

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知xey=1和xxey=1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是__2.设有曲面222:

yxzS+=和平面022:

=+zyxL。

则与L平行的S的切平面方程是_3.设函数）（xyy=由方程=xydttx124sin所确定。

求=0xdxdy_4.设=+=nknkkx1）!

1（。

则=nnxlim_5.已知310）（1limexxfxxx=+。

则=20）（limxxfx_二、（本题12分）设n为正整数，计算=121lncosnedxxdxdI。

三、（本题14分）设函数）（xf在1,0上有二阶导数，且有正常数BA,使得Bxf|）（|。

对任意1,0x，有22|）（|BAxf+。

四、（本题14分）

（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。

证明该球缺体积为2）3（3hhR。

球冠面积为Rh2；

（2）设球体12）1（）1（）1（222+zyx被平面6:

=+zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。

求第二型曲面积分+=zdxdyydzdxxdydzI五、（本题15分）设f在,ba上非负连续，严格单增，且存在,baxn，使得=bannndxxfabxf）

（1）（。

求nnxlim六、（本题15分）设2222221nnnnnnnAn+=。

求nnAn4lim2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小