流体力学三大方程的推导资料下载.pdf
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这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内,单位体积代表单位时间内,单位体积的质量变化的质量变化代表单位时间内,单位体积内代表单位时间内,单位体积内质量的净流出质量的净流出利用散度公式:
利用散度公式:
得到得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式:
利用矢量场基本运算公式和随体导数公式:
得得到到)()()()div(zyxuzuyuxu0)div(ut()()()0yxzuuuxyzt在连续方程中在连续方程中div()divuuuutDtD0divuDtDdiv0uut讨讨论论*表表明对不可压流体,体积在随体运动中保持不变。
适用于定常或明对不可压流体,体积在随体运动中保持不变。
适用于定常或不定常流体。
不定常流体。
对于定常流动对于定常流动,连续方程可简化为连续方程可简化为,0t对于不可压缩流体对于不可压缩流体,连续方程可简化为连续方程可简化为,0DtD0divv0divv微分形式微分形式*表明定常运动时,单位体积内流进流出的质量相等。
适用于可表明定常运动时,单位体积内流进流出的质量相等。
适用于可压或不可压流体。
压或不可压流体。
0DdivvDt因为因为0divvt微分形式的运动方程微分形式的运动方程运动方程是流体运动的最基本的运动学原理,即运动方程是流体运动的最基本的运动学原理,即找出流体运动和它受到的作用力之间的关系的数学表找出流体运动和它受到的作用力之间的关系的数学表达式,依据的理论原理是达式,依据的理论原理是牛顿的运动定律牛顿的运动定律或或动量定理动量定理,下面利用欧拉法形式建立微分形式的运动方程。
下面利用欧拉法形式建立微分形式的运动方程。
作作用于流体的力用于流体的力质量力质量力流体的作用力流体的作用力表面力表面力分析对象:
分析对象:
流体中以界面流体中以界面包围的体积为包围的体积为的的流体块流体块质质量力量力质量力(体力):
是指作用于所有流体质点的力。
质量力(体力):
如重力、万有引力等。
(11)质量力是长程力质量力是长程力:
它随相互作用的元素之间的距离:
它随相互作用的元素之间的距离的增加而减小,对于一般流体的特征运动距离而言,均能的增加而减小,对于一般流体的特征运动距离而言,均能显示出来。
显示出来。
(22)它是一种分布力它是一种分布力,分布于流体块的整个体积内,流,分布于流体块的整个体积内,流体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。
体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。
通常情况下,作用于流体的质量力通常就是指重力。
如果如果表示单位质量的流体的质量力,规定其为:
表示单位质量的流体的质量力,规定其为:
其中其中是作用在质量为是作用在质量为的流体块上的质量力。
的流体块上的质量力。
不难看出,不难看出,可以看做力的分布密度。
可以看做力的分布密度。
F0limmFFmFF例如:
对处于重力作用的物体而言,质量力的分布密度例如:
对处于重力作用的物体而言,质量力的分布密度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度。
gm表表面力面力表表面力面力:
是指流体内部之间或者流体与其他物体之间:
是指流体内部之间或者流体与其他物体之间的接触面上所受到的相互作用力的接触面上所受到的相互作用力。
如如流体内部的粘性应力和压力流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面上流体与固体接触面上的摩擦力等的摩擦力等。
(11)表面力是一种短程力表面力是一种短程力:
源于分子间的相互作用:
源于分子间的相互作用。
表面表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱,只有在相只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时互作用元素间的距离与分子距离同量级时,表面力才显现表面力才显现出来出来。
(22)流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的的,只有处于界面上的流体质点所受的只有处于界面上的流体质点所受的,由界面外侧流体由界面外侧流体所施加的表面力存在所施加的表面力存在。
(33)表面力也是一种分布力表面力也是一种分布力,分布在相互接触的界面上。
,分布在相互接触的界面上。
定义单位面积上的表面力为:
其中其中是作用于某个流体面积上是作用于某个流体面积上的表面力的表面力0limppp矢矢量量是质量力的分布密度,它是时间和空间点的函是质量力的分布密度,它是时间和空间点的函数,因而构成了一个矢量场。
数,因而构成了一个矢量场。
而矢量而矢量为流体的应力矢,它不但是时间和空间点的为流体的应力矢,它不但是时间和空间点的函数,并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。
函数,并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。
所以要确定应力矢所以要确定应力矢,必须考虑点的矢径,必须考虑点的矢径、该点受力、该点受力面元的方向(或者说面元的法向单位矢面元的方向(或者说面元的法向单位矢)以及时间)以及时间tt。
确。
确切地说应力矢是两个矢量(切地说应力矢是两个矢量(、)和一个标)和一个标量函量函数数tt。
质质量力和表面力的比较量力和表面力的比较nrpF质量力和表面力有着本质的差别。
质量力和表面力有着本质的差别。
pnr在运动流体中选取一小在运动流体中选取一小六面体体元六面体体元,其边长分别为:
其边长分别为:
为了导出流体的运动方程,首先来分析小体元的受力情况。
xyz,=+dVxyzdt质量力表面力根据牛顿第二定律:
根据牛顿第二定律:
xyzxyzxx方向质量力分析方向质量力分析xxmFFxyzx方向的质量力方向的质量力xx方向表面力分析方向表面力分析周围流体对小体元的周围流体对小体元的六个表面六个表面有表面力的作用,而通过六个有表面力的作用,而通过六个侧面作用于小体元沿侧面作用于小体元沿xx方向方向的表面力分别为:
的表面力分别为:
zyxxppxxxxzypxx小体元所受的小体元所受的xx方向的表面力方向的表面力=前后侧面之和:
前后侧面之和:
前后侧面:
zyxxpxxxxxpxxpzyx?
因此,周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x方向的表面力合力为:
zxyyppyxyxzxpyxyxzzppzxzxyxpzx右左侧面:
上下侧面:
zyxzpypxpzxyxxx据牛顿运动定律:
小体元受力等于其质量与加速度的乘积:
据牛顿运动定律:
zyxzpypxpzyxFzyxdtduzxyxxxxzpypxpFdtduzxyxxxx1xx方向合力分析方向合力分析单位质量流体在单位质量流体在xx方向的运动方程方向的运动方程方程可以简化为:
方程可以简化为:
单位质量流体在单位质量流体在yy方向的运动方程方向的运动方程单位质量流体在单位质量流体在zz方向的运动方程方向的运动方程同理可得:
zpypxpFdtdwzzyzxzz1zpypxpFdtdvzyyyxyy1矢量形式矢量形式zpypxpFdtVdzyx1PFdtVd1xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppxyzppp或者:
或者:
流体运动方程的普遍形式流体运动方程的普遍形式微分形式的能量方程微分形式的能量方程1、动能方程2、热流量方程3、伯努利方程能量守恒定律能量守恒定律是自然界的普遍规律,是自然界的普遍规律,流体在运动过程流体在运动过程中也是遵循该定律中也是遵循该定律。
孤孤立系统(与外界没有质量、能量的交换)立系统(与外界没有质量、能量的交换):
流体在:
流体在运动过程可以伴随着各种形式的能量之间的相互转换,但运动过程可以伴随着各种形式的能量之间的相互转换,但起总能量是不变的;
起总能量是不变的;
非非孤立系统孤立系统:
总能量的变化,等于外力(包括质量力:
总能量的变化,等于外力(包括质量力和系统外部的表面力)对系统所做的功和所吸收的热量。
和系统外部的表面力)对系统所做的功和所吸收的热量。
系系统的能量统的能量对于能量,主要指为三种形式:
内能、动能及重力势能。
对于能量,主要指为三种形式:
单位质量的内能单位质量的内能-ee:
流体分子热运动而具有的能量;
:
单位质量的动能单位质量的动能-vv22/2/2表示表示单位质量的重力势能单位质量的重力势能-gzgz:
由万有引力起,与位置的高差有关;
gzvees221dgzvedeEs)21(2单位质量的总能量(储存能)单位质量的总能量(储存能)-eess:
则体积为则体积为的流体系统的能量的流体系统的能量E:
E:
一一个确定的流体团也可看作一个热力学系统个确定的流体团也可看作一个热力学系统,流体质点总在流动中流体质点总在流动中,设该设该系统偏离平衡态不远:
系统总能量的变化率系统偏离平衡态不远:
系统总能量的变化率(包括内能和动能包括内能和动能)等于外力对系等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。
热热力学第一定理力学第一定理对对于一个静止的热力学系统(或起始和终止状态处于静止的系统):
系于一个静止的热力学系统(或起始和终止状态处于静止的系统):
系统储存能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。
统储存能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。
对于某一系统,单位时间对系统所作的功(实际上就是对于某一系统,单位时间对系统所作的功(实际上就是功率)用功率)用表示,单位时间加给系统的热量用表示,单位时间加给系统的热量用QQ表示,则表示,则系统能量系统能量E
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- 流体力学 方程 推导