概率论第七章习题解答(全)资料下载.pdf
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解
(1)()()()cEXxfxdxxfxdx
(1)ccxcxdxcxdx11|111ccccxc,而X故1cX,解出,得
(1)cX,()XcX,()XXc。
矩估计值为()xxc
(2)
(1)10()()()EXxfxdxxfxdx11100xxdxxdx110|11x,由X故1X,解出,得
(1)X,
(1)XX,21XX2
(1)XX。
(3)因为(,)Xbmp,所以()EXmp,解得Xpmm3、求下列各概率密度或分布律
(1)
(1),()0,cxxcfx其它,其中0c为已知,为未知参数。
(3)
(1)xxmxmPXxCpp,0,1,2,xm,其中01p,p为未知参数各未知参数的极大似然估计和估计量。
解
(1)121(,)()nniiLxxxfx
(1)
(1)11nnnniiiicxcx1ln()lnln
(1)lnniiLnncx1ln()lnlnniidLnncxd令ln()0dLd,即1lnln0niinncx解得1lnlnniinxnc1lnlnniinxnc是未知参数的极大似然估计值1lnlnniinXnc是未知参数的极大似然估计量。
(2)121(,)()nniiLxxxfx1)
(1)211nnniiiixx1ln()ln
(1)ln2niinLx1ln()1ln22niidLnxd令ln()0dLd,即11ln022niinx解得111lnniixn,1lnniinx221(ln)niinx是未知参数的极大似然估计值221(ln)niinX是未知参数的极大似然估计量。
(3)121(,)
(1)iiinxxmxnmiLxxxpCpp11()
(1)nniiiiinxmxxmiCpp111ln()lnln()ln
(1)innnxmiiiiiLpCxpmxp令11ln()11ln()01nniiiidLpxpmxdppp则有111()nnniiiiiipmxxx,即1()niipnmx解得11111niniiixpxxnmmnm这是未知参数p的极大似然估计值。
1pXm这是未知参数p的极大似然估计量4、
(1)设总体X具有分布律X123kp22
(1)2
(1)其中(01)为未知,已取得了样本的值11x,21x,31x,试求矩估计值和最大似然估计值。
(2)设12,nXXX是来自参数为的泊松分布,试求的最大似然估计量及矩估计量。
(3)设随机变量X服从以r,p为参数的二项分布,其分布律为11()
(1)kkxxrrkrPXxpp,,1,kxrr其中r已知,p为未知,试求p的最大似然估计值。
解
(1)22()4
(1)3
(1)32EX,3()2EX,而()EXX,故1(3)2X矩估计量为1(3)2X。
又因为14(121)33x矩估计值为145(3)236。
已知21PX,22
(1)PX,23
(1)PX,构造X的概率函数因为
(1)(3)2xx,当11x,21x,31x时,取值为1,2,3,而31
(1)xx,当11x,21x,31x时,取值为2,
(1),2
(1)所以
(1)(3)312
(1)xxxxPXx,1,2,3x似然函数为
(1)(3)31121(,)2
(1)iiiinxxxxniLxxx111
(1)(3)(3)
(1)2
(1)nnniiiiiiixxxx111
(1)(3)32
(1)nnniiiiiiixxnxxn111ln()
(1)(3)ln2(3)ln()ln
(1)nnniiiiiiiLxxnxxn11(3)()ln()01nniiiinxxndLd
(1)(3)
(1)xx(注11niixxn)23x,即32x32X是的最大似然估计量。
把样本的值11x,22x,31x代入,得43x,435326是的矩估计估计值。
解法二解法二31231()121iiLPXxPXPXPX22(2
(1)52
(1)ln()ln25lnln
(1)Lln()5101dLd解得56,即的矩估计估计值为56。
(备注:
求矩估计值用此方法比较简明,但如果要求矩估计量,就不是太好的。
)
(2)()设12,nxxx是相应于12,nXXX的样本值,则似然函数为由于泊松分布是离散型随机变量,故只要把!
kek中的变量k换成ix,则(,)!
ixiiepxx),故111()!
niiixnnxniiiieLexx11ln()lnln()nniiiiLnxx1ln()0niixdLnd,解得1niixn,即的最大似然估计值为x。
的最大似然估计量为X。
()求的矩估计量因为1()EX,而1X,故的矩估计量也是X。
(3)1111()
(1)kknnxxrrkrkkLpPXxCpp1111
(1)nkkknxrxnrrkCpp1111ln()ln()ln()ln
(1)knnxrkkkLpCnrpxrp1ln()1()01nkkdLpnrxrdppp即11()1nkknrxnrpp,1nkknrpnrpxpnr11nkkrrpxxn得p的最大似然估计值为rpxp的最大似然估计量为rpX5、设某种电子器件的寿命(以h计)T服从双参数的指数分布,其概率密度为()1,()0,tcetcft其它其中c,(,0c)为未知参数。
自一批这种电子器件中随机地取n件作寿命试验,设它们的失效时间依次为12nxxx,
(1)求与c的最大似然估计值。
(2)求与c的矩估计值量。
解
(1)作似然函数()11(,)inxciLce111()()11nniiciixcxnnee111ln(,)lnniiLcnxnc若要(,)Lc取最大值,则要求c尽是大,而当ln(,)0Lcnc时,(,)Lc单调增加,一霎时,当c取最大值时,(,)Lc取最大值;
而icx,1,2,in(概率密度中要求tc,t取值为ix,1,2,in)且12nxxx,故取1cX又21ln(,)1()0niiLcnxnc21()niinxnc211()niixcn,因为0,所以11niixcxcn取1XX,此即为的最大似然估计量。
(2)求求与c的矩估计值量()1()()tccETtftdttedt()()|tctcccteedt(分部积分法)()|tcccec;
22()1()tccETtedtc(为了求()DT)2()()1|2tctccctetedt2()12tccctedt22()cC(由上一个积分得。
)2222cC故222222()()()22()DTETETcCc联合与解得()DT,()()cETDT又21()()niiDTXXn(一阶中心矩)所以12211()niiXXn12211()niicXXXn6、一地质学家为研究密歇根湖滩地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录每个样品中属于石灰石的石子数,假设这100次观察相互独立,并且由过去的经验知,它们都是服从10m,p的二项分布。
p是这地区一块石子是石灰石的概率,求p的最大似然估计值。
该地质学家所得的数据如下:
(表中数据的含义:
第一行中说明的是每一个样品中所含有的石灰石的个数每次观察的结果,第二行中说明观察对100个样品作观察时其中含有上述各个石灰石数的观察次数即的频数,以2i为例,说明4100次观察(100个样品)中有6个样品是含有2块石灰石的,同样5i则说明在100个样品中有26个样品所含的石灰石的个数为5,如此等等。
于是100次观察得到的总的石灰石的块数为上下两行对应之数乘积之和:
共499,即在100个样本中,总共有石灰石块499块。
)解设第i次试验观察到石灰石的石子数为ik,即12100,kkk是相应于样本12100,XXX的样本值,(这里有多个ik的取同个值)X的分布律为一样品中属石灰石的石子数i012345678910100个样品中有i块石灰石的样品个数0167232621123101010
(1)kkkPXkCpp(01p)故其最大似然函数为10010101()
(1)iiikkkiLpCpp1001001110010101
(1)iiiiikkkippC10010010010111ln()ln(10)ln
(1)ln()ikiiiiiLpkpkpC10010011ln()11(10)01iiiidLpkkdppp即1001001111(1000)01iiiikkpp10010011
(1)(1000)iiiipkpk10011000iipk10011000iipk所以p的最大似然估计值为10011000iipk又1001126374235266217128391100499iix所以所以p的最大似然估计值为49910000.499p解法二:
由第三题(3)的结论知,二项分布
(1)xxmxmPXxCpp的矩估计量为Xpmm,此处10mn,101101499()4.99100kkkkkxnXEXn所以4.990.49910Xpm。
7、
(1)设12,nXXX是来自总体的一个样本,且()X,求0PX的最大似然估计值。
(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起严重事故的次数服从泊松分布,求一个扳道员在五年未引起严重事故的概率p的最大似然估计,使用下面122个观察值。
下表中r表示一个扳道员五年中引起严重事故的次数,s表示观察到的扳道员的人数。
r012345s444221942解
(1)设12,nxxx是相应于样本12,nXXX的样本值,本小题需求000!
ePXe的最大似然估计。
由第四题知泊松分布的参数的最大似然估计值x,又由于函数ue是具有单值反函数lnu,根据最大似然估计的不变性知0PXe的最大似然估计值为0xPXe。
(2)由所给数据得1137(440421212934425)122122x扳道员在5年内未引起严重事故,相当于000!
ePXe由
(1)的结论知,13712200.3253xPXee8、
(1)设12,nXXX是来自概率密度为1,01(,)0,xxfx其它的总体的样本,未知,求1Ue的最大似然估计值。
(2)设12,nXXX是来自总体(,1)XN的一个样本,未知,求2PX的最大似然估计值(3)设12,nxxx是来自总体(,)bm的样本值,又1
(1)3,求的最大似然估计值。
解
(1)先求的最大似然估计,其似然函数为11111()(,)()nnnni
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- 概率论 第七 习题 解答