第2章部分习题参考解答资料下载.pdf
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面电流密度的大小为210200A/m510SJ=?
故得面电流密度矢量表示式为200(23)A/m13SxyJee=+?
2.5一个半径为的球形体积内均匀分布着总电荷量为的电荷,当球体以均匀角速度aq绕一条直径旋转时,试计算球内的电流密度。
球体内的电荷体密度为34/3qa=,设以球心为坐标原点,旋转轴为轴,则球体内任意一点的位置矢量为zPrrer=?
,故该点的线速度为sinzrvreerer=?
因此,所求的电流密度矢量为2333sinsinA/m4/34qqJvereraa=?
2.6平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为42330049Udx=,阴极板位于处,阳极板位于0x=xd=处,极间电压为;
如果0U040VU=,横截面,求:
(1)至1cmd=210cmS=0x=xd=区域的总电荷量;
(2)/2xd=至xd=区域的总电荷量。
(1)142113310000044dd4.7210C93dVqVUdxSxUSd=
(2)242332003/244dd1932dVdqVUdxSxUd=001S129.710C=2.7在真空中,点电荷位于点10.3Cq=(25,30,15)A;
点电荷位于点。
求:
(1)坐标原点处的电场强度;
(2)点处的电场强度。
20.5Cq=(10,8,12)B(15,20,50)P解:
(1)源点的位置矢量及其大小分别为1253015cxyzreee=+?
m,222125301541.83cmr=+=210812cxyzreee=+?
m,22221081217.55cmr=+=而场点O的位置矢量,故坐标原点处的电场强度为0Or=?
12010233001026223062231()()410.310(253015)104(41.8310)0.510(10812)10(17.5510)92.4777.6794.37kOxyzxyzxyzqqErrrrrrrreeeeeeeee=+=+=?
V/m
(2)场点的位置矢量为P152050cmPxyzreee=+?
,故,110503Pxyrreee=+?
5z8z225123Pxyrreee=+?
则点处的电场强度为P62301623210.310(105035)1040.510(251238)1011.940.54912.4kV/mPxyPxyzPxyzEeerreeerreeeze=+=+?
2.8点电荷位于点处,另一个点电荷1qq=1(,0,0)Pa12qq=位于点处,试问:
空间是否存在的点?
2(,0,0)Pa0E=?
在空间任意点处产生的电场为1qq=(,)Pxyz12223/0()4()xyexaeyezqExayz+=+2z?
,q在点处产生的电场为(,)Pxyz22223/0()24()xyexaeyezqExayz22q=2z+=+?
,故在点处的电场则为(,)Pxyz12EEE=+?
。
令0E=?
,则有2223/22223/2()2()()()xyzxyexaeyezexaeyezxayzxayz+=+?
z?
由xe?
、三分量相等,得ye?
ze?
2223/22223/2()()2()()xaxayzxaxayz+=+
(1)2223/22223/2()2()yxayzyxayz+=+
(2)2223/22223/()2()zxayzxxayz+=+2(3)当或时,将式
(2)或式(3)代入式
(1),得0y0z0a=。
所以,当或时,无解。
0y0z当且时,由式
(1),有0y=0z=33()()2()()xaxaxaxa+=+解得(322)xa=,但322xa=+a不合题意,故仅在(322,0,0)aa处电场强度。
0E=?
2.9无限长线电荷通过点且平行于轴,线电荷密度为(6,8,0)zl,试求点处的电场强度(,)PxyzE?
Oyxz(,0)Pxy(6,8,0)l68R?
图题图题2.9解:
线电荷沿方向为无限长,故电场分布与无关。
设点位于的平面上,如图题2.9所示,线电荷与点的距离矢量为zzP0z=P(6)(8xyRexey)=+?
,22(6)(8)Rxy=+?
,22(6)(8(6)(8)xyRexeyReRxy)+=+?
直接利用无限长直线电荷的电场强度公式02lEe=?
得点处的电场强度为P22000(6)(8)V/m2(6)(8)22xylllRexeyREexyRRR+=+?
2.10半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷l,如图题2.10所示。
试求垂直于半圆环所在平面的轴线上za=处的电场强度(0,0,)Ea?
Oyxz(0,0,)Paar?
dlldE?
r?
图题图题2.10解:
如图题2.10所示,场点的位置矢量为(0,0,)Pazrea=?
,电荷元ddllla=的位置矢量cossinxyreaea=+?
,故22(cossin(cos)(sin)2zxyrreaeaeaaaaa2)=+=+=?
电荷元ddllla=在轴线上za=处的电场强度为300dd4
(2)(cossin)d82lzxylarrEaeeea=+=?
在半圆环上对上式积分,即得/2/200(0,0,)d(cossin)d82
(2)V/m82lzxylxzEaEeeeaeea=+=?
2.11三根长度均为、线电荷密度分别为L1l、2l和3l的线电荷构成一个等边三角形,如图题2.11所示,设1222ll3l=,试求三角形中心的电场强度。
Oyx1E?
2E?
3E?
1l2l3ld图题图题2.11解:
根据题意建立如图题2.11所示的坐标系,三角形中心到各边的距离为3tan3026LdL=?
直接利用有限长直线电荷的电场强度公式120(coscos)4lE=得111003(cos30cos150)42llyyEeedL=?
2120033(cos30sin30)(3)28llxyxyEeeeeLL=+=+?
3130033(cos30sin30)(3)28llxyxyEeeeeLL=?
故等边三角形中心处的电场强度为11112300033(3)(3)28834llyxyxylyEEEEeeeeeLLLeL103l=+=+=?
2.12一个很薄的无限大导体带电平面,其上的面电荷密度为S。
试证明:
垂直于平面的轴上z0zz=处的电场强度中,有一半是由平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。
Oyxz0(0,0,)Pzr?
E?
rdSdrPr?
图题图题2.12证:
如图题2.12所示,在导体平面上取面积元dddSrr=,其上所带的电荷ddddSSqSrr=,电荷元d在q0zz=处产生的电场强度为0223/00ddd4()SzrrezerEzr2r+=+?
则整个导体带电面在轴上处的电场强度为z0zz=20223/2000000223/2221/2000000dd4()d12()2()rSzrrrSSzzezerErrzrzzrreezrzr+=+=+?
当r时,02SzEe=?
,而03r=z时,030221/20000112()42zSSzzzEeezr=+?
E2.13自由空间有三个无限大的均匀带电平面:
位于点处的平面上,位于点处的平面上,位于点(0处的平面上。
试求以下各点的(0,0,4)123nC/mS=(0,0,1)226nC/mS=,0,4)328nC/mS=E?
:
(1)1(2,5,5)P;
(2);
(3)。
2(2,4,5)P3(1,5,2)P解:
无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场,利用前面的结果得
(1)3129100001(368)102222SSSzzzzEeeee=+=+?
91211056.49V/m28.8510zzee=?
(2)3129200001(368)1056.49V/m2222SSSzzzzzEeeeee=+=+=?
(3)3129300001(368)10960.5V/m2222SSSzzzzzEeeeee=+=+=?
2.14在下列条件下,对给定点求divE?
的值:
(1),求点222
(2)
(2)V/mxyzEexyzyexzxyexy=+?
1(2,3,1)P处的值。
divE?
(2),求点处div的值。
222222sinsin
(2)2sinV/mzEezezez=+?
2(2,110,P=?
1)z=E?
(3),求点处div的值。
2sincoscoscossinV/mrEererer=+?
(1.5,30Pr=?
50)=?
(1)22div
(2)
(2)()EExyzyxzxyxxy=+?
2yz23
(1)2210=
(2)2222211(2sin)(sin2)(2sin)Ezzzz=+?
2222222112sin22cos22sin41sin11021cos(2110)22sin1109.06zz=+=+=?
2?
(3)2211(2sincos)(sincoscos)sinErrrrrr=+?
1(sin)sinrr+222116sincoscos(cossin)sinsin0.637rrrr2cos=+=2.15半径为的球形体积内充满密度为a()r的体电荷。
若已知球形体积内外的电位移分布为32542(),0,rrrrerArraDeDaAaerra+=+?
式中为常数,试求电荷密度A()r。
由D=?
,得221d()()drrDrDrr=?
故在0区域,有ra542221d()0daAarrrrr+=2.16一个半径为a的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,如图题2.16所示,试求球心处的磁感应强度B?
Ozdba图题图题2.16解:
导体球面上的电荷面密度为24Sqa=,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上的位置矢量点处的电流面密度为rrea=?
sinsin4SSSSzrSqJvreeaeaea=?
将球面划分为无数个宽度为ddla=的细圆环,则球面上任一个宽度为ddla=细圆环的电流为ddsind4SqIJl=该细圆环的半径为sinba=,细圆环平面到球心的距离cosda=,利用电流圆环的轴线上任意一点的磁场公式,可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为223000223/222223/2dsindd2()8(sincos)8z
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