同济大学《高等数学第五版》习题答案资料下载.pdf
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XY,若存在一个映射g:
YX,使,其中IXIfg=?
YIgf=?
X、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXx=x;
对于每一个yY,有IYy=y.证明:
f是双射,且g是f的逆映射:
g=f1.证明因为对于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=fg(y)=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否则若f(x1)=f(x2)gf(x1)=gf(x2)x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:
YX,因为对每个yY,有g(y)=xX,且满足f(x)=fg(y)=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:
XY,AX.证明:
(1)f1(f(A)A;
(2)当f是单射时,有f1(f(A)=A.证明
(1)因为xAf(x)=yf(A)f1(y)=xf1(f(A),所以f1(f(A)A.
(2)由
(1)知f1(f(A)A.另一方面,对于任意的xf1(f(A)存在yf(A),使f1(y)=xf(x)=y.因为yf(A)且f是单射,所以xA.这就证明了f1(f(A)A.因此f1(f(A)=A.6.求下列函数的自然定义域:
(1)23+=xy;
解由3x+20得32x.函数的定义域为),32+.
(2)211xy=;
解由1x20得x1.函数的定义域为(,1)(1,1)(1,+).(3)211xxy=;
解由x0且1x20得函数的定义域D=1,0)(0,1.(4)241xy=;
解由4x20得|x|0得函数的定义域D=(1,+).(10)xey1=.解由x0得函数的定义域D=(,0)(0,+).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?
为什么?
(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;
(2)f(x)=x,g(x)=2x;
(3)334)(xxxf=,31)(=xxxg.(4)f(x)=1,g(x)=sec2xtan2x.解
(1)不同.因为定义域不同.
(2)不同.因为对应法则不同,x0时,g(x)=x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设0,1x20.因为当x1x2时,0)1)(1(112121221121=xxxxxxxxyy,所以函数xxy=1在区间(,1)内是单调增加的.
(2)对于任意的x1,x2(0,+),当x1x2时,有0ln)()ln()ln(2121221121+=+=xxxxxxxxyy,所以函数y=x+lnx在区间(0,+)内是单调增加的.10.设f(x)为定义在(l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(l,0)内也单调增加.证明对于x1,x2(l,0)且x1x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(x2)f(x1),f(x2)f(x1),这就证明了对于x1,x2(l,0),有f(x1)0);
(4)f(x+a)+f(xa)(a0).解
(1)由0x21得|x|1,所以函数f(x2)的定义域为1,1.
(2)由0sinx1得2nx(2n+1)(n=0,1,2),所以函数f(sinx)的定义域为2n,(2n+1)(n=0,1,2).(3)由0x+a1得ax1a,所以函数f(x+a)的定义域为a,1a.(4)由0x+a1且0xa1得:
当210a时,无解.因此当210a时函数无意义.18.设=0,040cot0hhS?
确定,定义域为?
40cot00Sh.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少?
解
(1)当0x100时,p=90.令0.01(x0100)=9075,得x0=1600.因此当x1600时,p=75.当100x1600时,p=90(x100)0.01=910.01x.综合上述结果得到.=160075160010001.091100090xxxxp
(2).N时,xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时,求出数N.解.0lim=nnxnnnxn1|2cos|0|=.0,要使|xn0|,只要n.取1=N,则nN,有|xn0|.当=0.001时,1=N=1000.3.根据数列极限的定义证明:
(1)01lim2=nn;
(2)231213lim=+nnn;
(3)1lim22=+nann(4).19999.0lim=?
个nn
(1)分析要使n,即1n.证明因为0,1=N,当nN时,有|01|2n,所以01lim2=nn.
(2)分析要使+=+nnnn41)12(21|231213|,只须n.证明因为0,41=N,当nN时,有+|231213|nn,所以231213lim=+nnn.(3)分析要使.证明因为0,2aN=,当nN时,有+|1|22nan,所以1lim22=+nann.(4)分析要使|0.9991|=1101n,只须1101nn.证明因为0,1lg1+=N,当nN时,有|0.9991|0,NN,当nN时,有,从而aunn=lim|aun|un|a|una|0,NN,当nN时,有0lim=nnyMynN时,有=0,K1,当2k2K1时,有|x2ka|2K2+1时,有|x2k+1a|N,就有|xna|.因此xna(n).习题131.根据函数极限的定义证明:
(1);
8)13(lim3=xx
(2);
12)25(lim2=+xx(3)424lim22=+xxx;
(4)21241lim321=+xxx.证明
(1)分析|(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,要使|(3x1)8|,只须31|3|0,31=,当0|x3|时,有|(3x1)8|,所以.8)13(lim3=xx
(2)分析|(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,要使|(5x+2)12|,只须51|2|0,51=,当0|x2|时,有|(5x+2)12|,所以.12)25(lim2=+xx(3)分析|)2(|2|244)4(2422=+=+=+xxxxxxx,要使+)4(242xx,只须0,=,当0|x
(2)|时,有+)4(242xx,所以424lim22=+xxx.(4)分析|)21(|2|221|212413=+xxxx,要使+212413xx,只须21|)21(|0,21=,当|)21(|0x时,有+212413xx,所以21241lim321=+xxx.2.根据函数极限的定义证明:
(1)2121lim33=+xxx;
(2)0sinlim=+xxx.证明
(1)分析333333|21212121xxxxxx=+=+,要使+212133xx,只须x.证明因为0,321=X,当|x|X时,有+212133xx,所以2121lim33=+xxx.
(2)分析xxxxx1|sin|0sin=,要使0sinxx,只须x.证明因为0,21=X,当xX时,有0sinxx,所以0sinlim=+xxx.3.当x2时,y=x24.问等于多少,使当|x2|时,|y4|0.001?
解由于x2,|x2|0,不妨设|x2|1,即1x3.要使|x24|=|x+2|x2|5|x2|0.001,只要0002.05001.0|2|=x,取=0.0002,则当0|x2|时,就有|x24|X时,|y1|0.01?
解要使01.034131222x,397=X.5.证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零.6.求,)(xxxf=xxx|)(=当x0时的左右极限,并说明它们在x0时的极限是否存在.证明因为11limlim)(lim000=xxxxxxf,11limlim)(lim000=+xxxxxxf,)(lim)(lim00xfxfxx+=所以极限存在.)(lim0xfx因为1lim|lim)(lim000=xxxxxxxx,1lim|lim)(lim000=+xxxxxxxx,)(lim)(lim00xxxx+所以极限不存在.)(lim0xx7.证明:
若x+及x时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则.Axfx=)(lim证明因为,所以0,Axfx=)(limAxfx=+)(limX10,使当xX1时,有|f(x)A|0,使当xX2时,有|f(x)A|X时,有|f(x)A|0,0,使当0|xx0|时,有|f(x)A|.因此当x0xx0和x0xx0+时都有|f(x)A|0,10,使当x01xx0时,有|f(x)A0,使当x0xx0+2时,有|f(x)A|.取=min1,2,则当0|xx0|时,有x01xx0及x0xx0+2,从而有|f(x)A|0及M0,使当|x|X时,|f(x)|0,当|x|X时,有|f(x)A|=1.所以|f(x)|=|f(x)A+A|f(x)A|+|A|0及M0,使当|x|X时,|f(x)|0,=,当0|x3|时,有=0,=,当0|x0|时,有=104?
证明分析2|11221|+=+=xxxxy,要使|y|M,只须Mx2|1,即21|+0,21+=M,使当0|x0|+21,所以当x0时,函数xxy21+=是无穷大.取M=104,则21014+=.当2101|0|04+104.4.求下列极限并说明理由:
(1)xxn12lim+;
(2)xxx11lim20.解
(1)因为xxx1212+=+,而当x时x1是无穷小,所以212lim=+xxn.
(2)因为xxx+=1112(x1),而当x0时x为无穷小,所以111lim20=xxx.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:
6.函数y=xcosx在(,+)内是否有界?
这个函数是否为当x+时的无穷大?
解函数y=xcosx在(,+)内无界.这是因为M0,在(,+)内总能找到这样的x,使得|y(x)|M.例如y(2k)=2kcos2k=2k(k=0,1,2,),当k充分大时,就有|y(2k)|M.当x+时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|M.例如0)22cos()22()22(=+=+kkky(k=0,1,2,),对任何大的N,当k充分大时,总有Nkx+=22,但|y(x)|=00,在(0,1中总可以找到点xk,使y(xk)M.例如当221+=kxk(k=0,1,2,)时,有22)(+=kxyk,当k充分大时,y(xk)M.当x0+时,函数xxy1sin1=不是无穷大
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- 高等数学第五版 同济大学 高等数学 第五 习题 答案
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