2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)资料下载.pdf
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四、(本题满分15分)四、(本题满分15分)已知平面区域0,0|),(=yxyxD,L为D的正向边界,试证:
(1)=LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin;
(2)2sinsin25ddLyyxyeyxe。
五、(本题满分10分)五、(本题满分10分)已知xxexey21+=,xxexey+=2,xxxeexey+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程。
六、(本题满分10分)六、(本题满分10分)设抛物线cbxaxyln22+=过原点。
当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为31。
试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。
七、(本题满分15分)七、(本题满分15分)已知)(xun满足),2,1()()(1?
=+=nexxuxuxnnn,且neun=)1(,求函数项级数=1)(nnxu之和。
八、(本题满分10分)八、(本题满分10分)求1x时,与=02nnx等价的无穷大量。
163第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算题(每小题5分,共20分)一、计算题(每小题5分,共20分)1求极限121lim
(1)sinnnkkknn=+。
2计算2222()axdydzzadxdyxyz+,其中为下半球面222zayx=的上侧,0a。
3现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器。
已知上下两底的材料费为单位面积a元,而侧面的材料费为单位面积b元。
试给出最节省的设计方案:
即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少?
4已知()fx在11(,)42内满足331()sincosfxxx=+,求()fx。
二、求下列极限(每小题5分,共10分)二、求下列极限(每小题5分,共10分)11lim1nnnen+;
2111lim3nnnnnabc+,其中0,0,0abc。
三、(本题满分10分)三、(本题满分10分)设()fx在1x=点附近有定义,且在1x=点可导,
(1)0,
(1)2ff=,求220(sincos)limtanxfxxxxx+。
四、(本题满分10分)四、(本题满分10分)设()fx在0,)+上连续,无穷积分0()fxdx收敛。
求01lim()yyxfxdxy+。
五、(本题满分12分)五、(本题满分12分)设函数()fx在0,1上连续,在(0,1)内可微,且1(0)
(1)0,()12fff=。
证明:
(1)存在1(,1)2使得()f=;
(2)存在(0,)使得()()1ff=+。
六、(本题满分14分)六、(本题满分14分)设1n为整数,20()1.1!
2!
nxttttFxedtn=+。
方程()2nFx=在(,)2nn内至少有一个根。
七、(本题满分12分)七、(本题满分12分)是否存在1R中的可微函数()fx使得2435()1ffxxxxx=+?
若存在,请给出一个例子;
若不存在,请给出证明。
八、(本题满分12分)八、(本题满分12分)设()fx在0,)上一致连续,且对于固定的0,)x,当自然数164n时()0fxn+。
函数序列():
1,2,.fxnn+=在0,1上一致收敛于0。
第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共25分)一、填空题(每小题5分,共25分)1.设22
(1)
(1)
(1),nnxaaa=+?
其中|1,a,求0(1,2,)sxnIexdxn=?
。
4.设函数()ft有二阶连续导数,221,(,)rxygxyfr=+=,求2222ggxy+。
5.求直线10:
0xylz=与直线2213:
421xyzl=的距离。
二、(本题满分15分)二、(本题满分15分)设函数()fx在(,)+上具有二阶导数,并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx+=且存在一点0x,使得0()0fx=所确定,且2234
(1)dydxt=+,其中()t有二阶导数,曲线()yt=与22132tuyedue=+在1t=出相切,求函数()t。
四、(本题满分15分)四、(本题满分15分)设10,nnnkkaSa=证明:
(1)当1时,级数1nnnaS+=收敛;
(2)当1且()nsn时,级数1nnnaS+=发散。
五、(本题满分15分)五、(本题满分15分)设l是过原点、方向为(,),(其中2221)+=的直线,均匀椭球2222221xyzabc+,其中(0,cba,2222:
zxy=+,为1与2的交线,求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五、(本题满分16分)五、(本题满分16分)已知S是空间曲线22310xyz+=绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z)取上侧,是S在(),Pxyz点处的切平面,(),xyz是原点到切平面的距离,,表示S的正法向的方向余弦。
计算:
(1)(),SzdSxyz;
(2)()3SzxyzdS+。
166六、(本题满分12分)六、(本题满分12分)设()fx是在(,)+内的可微函数,且()()fxmfx,其中01m)有一质量为m的质点,求射线对该点的引力.五、(本题满分15分)五、(本题满分15分)设(),zzxy=是由方程11,0Fzzxy+=确定的隐函数,且具有连续的二阶偏导数,求证:
()2222233220,0zzzzzxyxxyxyyxxxxyy+=+=.六、(本题满分15分)六、(本题满分15分)设函数()fx连续,,abc为常数,是单位球面2221xyz+=,167记第一型曲面积分()IfaxbyczdS=+.求证:
()122212Ifuabcdu=+.第三届(2012)全国大学生数学竞赛决赛试卷第三届(2012)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算下列各题(本题满分30分,每小题6分)一、计算下列各题(本题满分30分,每小题6分)
(1)222220sincoslimsinxxxxxx
(2)()13611limtan12xxxxexx+(3)设函数(,)fxy有二阶连续偏导数,满足2220xyyxyxyyyyfffffff+=且0yf,(,)yyxz=是由方程(,)zfxy=所确定的函数.求22yx(4)求不定积分()111xxIxedxx+=+(5)求曲面22xyaz+=和222zaxy=+(0)a所围立体的表面积二、(本题满分13分)二、(本题满分13分)讨论220cossinxdxxxx+的敛散性,其中是一个实常数.三、(本题满分13分)三、(本题满分13分)设()fx在(,)+上无穷次可微,并且满足:
存在0M,使得()()kfxM,(,)x+,(1,2,)k=?
且1()02nf=,(1,2,)n=?
求证:
在(,)+上,()0fx四、(本题满分16分,第1小题6分,第2小题10分)四、(本题满分16分,第1小题6分,第2小题10分)设D为椭圆形22221xyab+(0)ab,面密度为的均质薄板;
l为通过椭圆焦点(,0c)(其中222cab=)垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J;
2.对于固定的转动惯量,讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、(本题满分12分)五、(本题满分12分)设连续可微函数(,)zfxy=由方程(,)0Fxzyxyz=(其中(,)0Fuv=有连续的偏导数)唯一确定,L为正向单位圆周.试求:
22
(2)
(2)LIxzyzdyxzyzdx=+?
六、(本题满分16分,第1小题6分,第2小题10分)六、(本题满分16分,第1小题6分,第2小题10分)168
(1)求解微分方程2(0)1xyxyxey=
(2)如()yfx=为上述方程的解,证明1220lim()12nnfxdxnx=+第四届(2012)全国大学生数学竞赛预赛试卷第四届(2012)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、(本题满分30分,每小题6分)一、(本题满分30分,每小题6分)1.求极限()21lim!
nnn;
2.求通过直线2320:
55430xyzLxyz+=+=的两个相互垂直的平面12,,使其中一个平面过点()4,3,1;
3.已知函数()2,0axbyuzuxyexy+=且,确定常数ab和,使得函数(),zzxy=满足方程20zzzzxyxy+=;
4.设函数()uux=连续可微,()21u=,且()()32xyudxxuudy+在右半平面上与路径无关,求()ux;
5.求极限13sinlimcosxxxtxdttt+.二、(本题满分10分)二、(本题满分10分)计算20sinxexdx+三、(本题满分10)三、(本题满分10)求方程21sin2501xxx=的近似解,精确到0.001.四、(本题满分12分)四、(本题满分12分)设函数()yfx=的二阶可导,且()()()0,00,00fxff=,求()()330limsinxxfufxu,其中u是曲线()yfx=上点()(),pxfx处的切线在x轴上的截距.五、(本题满分12分)五、(本题满分12分)求最小实数C,使得满足()101fxdx=的连续函数()fx都有()10fxdxC六、(本题满分12分)六、(本题满分12分)设()fx为连续函数,0t.区域是由抛物面22zxy=+和球面169()22220xyztt+=所围起来的部分.定义三重积分()()222FtfxyzdV=+,求导数()Ft七、(本题满分14分)设1nna=与1nnb=为正项级数
(1)若111lim0nnnnnaabb+,则1nna=收敛;
(2)若111lim0nnnnnaabb+,且1nnb=发散,则1nna=发散.第四届(2013)全国大学生数学竞赛决赛试卷第四届(2013)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、(25分)简答下列各题一、(25分)简答下列各题1.计算+axaxaxxln)ln(ln)lnln(lim0,2.设),(vuf具有连续偏导数,且满足uvvufvufvu=+),(),(,求),()(2xxfexyx=所满足的一阶微分方程,并求其通解。
3.求在),+0上的可微函数)(xf,使)()(xuexf=,其中dttfxux)()(0=。
4.计算不定积分dxxxx)1ln(arctan2+5.过直线=+=+0272210zyxzy作曲面27322
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