插值与多项式逼近的数组计算方法实验Word文档格式.docx
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插值与多项式逼近的数组计算方法实验Word文档格式.docx
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是唯一的,且必然与的麦克劳林级数一致。
2.拉格朗日插值法
如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测
值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的
值。
这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式。
数学上来说,拉格朗日插值法
可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。
在平面上有(x1,y1)(x2,y2)...(xn,yn)共n个点,现作一条函数f(x)使其图像经过这n个点。
作n个多项式pi(x),i=1,2,3...,n,使得
最后可得
3.牛顿插值法
插值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,
在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近
似值。
如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节
点增减时全部插值基函数均要随之变化,整个公式也将发生变化,这在实际计算中是很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商,递推得到的一个公式:
PN
(x)
PN1(x)
aN
(x
x0)(x
x1)(x
x2)L(x
xN1)
牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。
4.帕德逼近
它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系,而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。
设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。
欲确定一个有理函数,式中,使得前次方的系数为0,即使得此处约
定qk=0(k>
n)。
虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一,但是比式却总是惟一的。
有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。
由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。
3
三、实验内容
1.P154.1:
用plot命令,在同一幅图中绘制区间-1≤x≤1上的sin(x),以及P5(x),P7(x)和P9(x)。
其中:
P5
x3
x5
·
式
(1)
x
5!
3!
P7
(x)
x7
式
(2)
7!
P9(x)
x9
式(3)
9!
2.P171.2:
下表(表一)给出了11月8号美国洛杉矶的一个郊区在5小时内的测量温度。
(a)对表一中的数据构造一个拉格朗日插值多项式。
(b)估计这5小时内的平均温度。
(c)在同一坐标系中画出表中的数据和由(a)得到的多项式。
讨论用(a)中的多项式计算平均温度可能产生的误差。
时间(下午)
华氏度
66
65
4
64
5
63
6
表1
3.P178.1:
用牛顿插值多项式计算实验P171.2的内容。
4.P194.1:
比较对于函数f(x)ex的逼近:
泰勒多项式逼近:
T4(x)1x
x2
x4
式(4)
24
帕德逼近:
R2,2
12
6x
式(5)
6x
(a)在同一坐标系中画出f(x),T4(x),R2,2(x)的曲线。
(b)分别求出在区间[-1,1]上用T4(x)和R2,2(x)逼近f(x)的最大误差。
5.P194.3:
比较对于函数f(x)=tan(x)
的逼近:
T9
2x5
17x7
62x
9
(x)x
15
315
式(6)
2835
945x
105x
式(7)
R5,4(x)
420x2
15x4
945
(a)在同一坐标系中画出f(x),T9(x),R5,4(x)的曲线。
(b)分别求出在区间[-1,1]上用T9(x)和R5,4(x)逼近f(x)的最大误差。
四、实验结果及分析
1.P154.1:
实验描述:
(1)plot绘图的原理为连续点绘图,只需输入一组等间距的坐标点即可完成;
(2)坐标点的计算使用C++完成,计算完成后输入文件中;
(3)绘图使用matlab的plot函数完成,具体方法为从文件中读取出坐标点,之后使用plot函数绘图。
实验结果:
表2x及sin(x)
及5,7,9阶泰勒展开公式计算结果
y=sin(x)
y=P5(x)
y=P7(x)
y=P9(x)
-100000000
-0.84147098
-0.84166667
-0.84146825
-0.84147101
-0.90000000
-0.78332691
-0.78342075
-0.78332585
-0.78332692
-0.80000000
-0.71735609
-0.71739733
-0.71735572
-0.70000000
-0.64421769
-0.64423392
-0.64421758
-0.60000000
-0.56464247
-0.56464800
-0.56464245
-0.50000000
-0.47942554
-0.47942708
-0.47942553
-0.40000000
-0.38941834
-0.38941867
-0.30000000
-0.29552021
-0.29552025
-0.20000000
-0.19866933
-0.10000000
-0.09983342
0.00000000
0.10000000
0.09983342
0.20000000
0.19866933
0.30000000
0.29552021
0.29552025
0.40000000
0.38941834
0.38941867
0.50000000
0.47942554
0.47942708
0.47942553
0.60000000
0.56464247
0.56464800
0.56464245
0.70000000
0.64421769
0.64423392
0.64421758
0.80000000
0.71735609
0.71739733
0.71735572
0.90000000
0.78332691
0.78342075
0.78332585
0.78332692
1.00000000
0.84147098
0.84166667
0.84146825
0.84147101
图1y=sin(x)及其5,7,9阶泰勒展开函数
实验结论:
(1)由表二可知,随着泰勒展开阶数的增加,Pn(x)越来越接近于原函数,当展开阶数n=9时,在误差delta=1e-7的精度要求下可以认为P9(x)与sin(x)
完全拟合;
(2)当y=sin(x)的泰勒展开函数Pn(x)的展开阶数为5,7,9时,其函数图像与原函数图像基本相符;
(3)综上,当y=sin(x)泰勒展开到达5阶时,其五阶泰勒展开函数P5(x)
便近似于原函数,可在x[x01,x01]范围内用于替代计算。
(1)拉格朗日插值多项式的公式为:
n
PN(x)
ykLN,k(x)
式(8)
k
以及
LN,k(x)
(xx0)L(xxk1)(xxk1)L(xxN)
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