实际问题与二元一次方程组经典例题.docx

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实际问题与二元一次方程组经典例题

实际问题与二元一次方程组经典例题

目标认知

学习目标：

　1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用

　2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性

　3．体会列方程组比列一元一次方程容易

　4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力

　5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

重点：

　　1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

　　2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：

正确找出问题中的两个等量关系

知识要点梳理

知识点一：

列方程组解应用题的基本思想

　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

知识点二：

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

　　1.行程问题：

（1）追击问题：

追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；

（2）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程。

　　（3）航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　　　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

　　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

　　注意：

飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

　　2．工程问题：

工作效率×工作时间=工作量.

　　3．商品销售利润问题：

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）；（3）利润＝成本（进价）×利润率；

（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；

　　注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

　　4．储蓄问题：

（1）基本概念

　　　①本金：

顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：

银行付给顾客的酬金叫做利息。

　　　③本息和：

本金与利息的和叫做本息和。

④期数：

存入银行的时间叫做期数。

　　　⑤利率：

每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：

利息的税款叫做利息税。

（2）基本关系式

　　　①利息＝本金×利率×期数

　　　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　　　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

　　　④税后利息＝利息×（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×12⑥。

　　注意：

免税利息=利息

　　5．配套问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

　　6．增长率问题：

　　解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）＝增长后的量；

　　　　　　　　　　　　　　　　　原量×（1－减少率）＝减少后的量.

　　7．和差倍分问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

　　8．数字问题：

　　解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：

两位数=十位数字10+个位数字

　　9．浓度问题：

溶液质量×浓度=溶质质量.

　　10．几何问题：

解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

　　11．年龄问题：

解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

　　12．优化方案问题：

　　在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

　　注意：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

　　1．审题:

弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:

可直接设元，也可间接设元；

　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:

根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

　　要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

　　（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

　　　解答步骤简记为：

问题方程组解答

　　（4）列方程组解应用题应注意的问题

　　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

经典例题透析

类型一：

列二元一次方程组解决——行程问题

　　1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

　　思路点拨：

画直线型示意图理解题意：

（1）这里有两个未知数：

①汽车的行程；②拖拉机的行程.

（2）有两个等量关系：

　　　①相向而行：

汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;

　　　②同向而行：

汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

　　解：

设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

　　　　根据题意，列方程组

　　　　解这个方程组，得:

　　　　.

　　答：

汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

　　总结升华：

根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

　　举一反三：

　　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

　　解：

设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。

根据题意可得：

　　　　解得：

　　答：

甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。

　　【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

　　分析：

船顺流速度＝静水中的速度＋水速

　　　　　船逆流速度＝静水中的速度－水速

　　解：

设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，

　　　　则，解得：

　　答：

船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。

类型二：

列二元一次方程组解决——工程问题

　　2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

　　思路点拨：

本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：

若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：

若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。

设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.

　　解：

（1）设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：

　　　　　解得

　　　　　答：

甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。

（2）单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，

　　　　　故请乙组单独做费用最少。

　　　　　答：

请乙组单独做费用最少。

　　总结升华：

工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

　　举一反三：

　　【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？

请你说明理由.

　　解：

设甲、乙两公司每周完成总工程的和，由题意得：

　　　　，解得：

　　　　所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。

　　　　设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元，万元，根据题意得：

　　　　，解得：

　　　　故甲公司单独完成需工钱：

（万元）；乙公司单独完成需工钱：

（万元）。

　　答：

甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成.

类型三：

列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

　　3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

　　思路点拨：

做此题的关键要知道：

利润＝进价×利润率

　　解：

甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：

　　　　，解得：

　　答：

两件商品的进价分别为600元和400元。

　　举一反三：

　　【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

　　解：

设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了亩，则：

　　　　，解得

　　答：

李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩．

　　【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A

B

进价（元/件）

1200

1000

售价（元/件）

1380

1200

　　（注：

获利=售价—进价）

　　求该商场购进A、B两种商品各多少件；

　　解：

设购进A种商品件，B种商品件，根据题意得：

　　　　化简得：

解得：

　　答：

该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。

类型四：

列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

　　4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）