直线平面平行的判定与性质考点与题型归纳Word文档下载推荐.docx
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∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b
二、常用结论
平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法
(一) 直线与平面平行的判定
[典例] 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.求证:
MN∥平面BB1C1C.
[证明] 如图,连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.
又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.
因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.
又因为MN⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
考法
(二) 线面平行性质定理的应用
[典例] (2018·
豫东名校联考)
如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.
求证:
FG∥平面AA1B1B.
[证明] 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,
所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.
因为BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,
所以FG∥平面AA1B1B.
[题组训练]
1.(2018·
浙江高考)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A ∵若m⊄α,n⊂α,且m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α,但若m⊄α,n⊂α,且m∥α,则m与n有可能异面,∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
2.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.
BM∥平面PAD.
证明:
法一:
如图,过点M作MN∥CD交PD于点N,连接AN.
∵PM=2MC,∴MN=
CD.
又AB=
CD,且AB∥CD,
∴AB綊MN,
∴四边形ABMN为平行四边形,
∴BM∥AN.
又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD,
∴BM∥平面PAD.
法二:
如图,过点M作MN∥PD交CD于点N,连接BN.
∵PM=2MC,∴DN=2NC,
又AB∥CD,AB=
CD,
∴AB綊DN,
∴四边形ABND为平行四边形,
∴BN∥AD.
∵BN⊂平面MBN,MN⊂平面MBN,BN∩MN=N,
AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D,
∴平面MBN∥平面PAD.
∵BM⊂平面MBN,∴BM∥平面PAD.
3.
如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.
PA∥GH.
如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点,
又M是PC的中点,∴PA∥MO.
又MO⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,
PA⊂平面PAHG,
∴PA∥GH.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例] 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]
(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC,
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[变透练清]
1.
在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
如图所示,连接A1C,AC1,
设交点为M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.
∵DM⊄平面A1BD1,A1B⊂平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知D1C1綊BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,
∴DC1∥平面A1BD1,
又∵DC1∩DM=D,DC1⊂平面AC1D,DM⊂平面AC1D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,
则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO,则MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,
所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,
所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,DE∩BD=D,
所以平面BDE∥平面MNG.
A级
1.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为( )
A.平行 B.相交
C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内
选D 依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内.
2.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中
( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
选A 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.在平面内D.不能确定
选A 如图,由
=
得AC∥EF.
又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
4.(2019·
重庆六校联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
选D 对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件;
同理,选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;
对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.
5.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·
BF是定值.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
选C 由题图,显然①是正确的,②是错误的;
对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,
∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,
∴A1D1∥平面EFGH(水面).
∴③是正确的;
对于④,∵水是定量的(定体积V),
∴S△BEF·
BC=V,即
BE·
BF·
BC=V.
∴BE·
BF=
(定值),即④是正确的,故选C.
6.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=________.
∵平面α∥平面β,∴CD∥AB,
则
,∴AB=
.
答案:
7.设α,β,γ是三个平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;
②a∥γ,b∥β;
③b∥β,a⊂γ.
如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填序号).
由面面平行的性质定理可知,①正确;
当b∥β,a⊂γ时,a和b在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.
①或③
8.在三棱锥PABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为________.
如图,过点G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F,过点E作EN∥PB交AB于点N,过点F作FM∥PB交BC于点M,连接MN,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),且EF=MN=
AC=2,FM=EN=
PB=2,所以截面的周长为2×
4=8.
8
9.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
(1)如图,取B1D1的中点O,连接GO,OB,
因为OG綊
B1C1,BE綊
B1C1,
所以BE綊OG,
所以四边形BEGO为平行四边形,
故OB∥EG,
因为OB⊂平面BB1D1D,
EG⊄平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD
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