上海初一数学绝对值难题解析.docx
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2016上海初一数学绝对值难题解析
绝对值是初一数学的一个重要知识点,它的概念本身不难,但却经常拿来出一些难题,考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义:
(1)代数意义:
非负数(包括零)的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数。
即|a|=a(当a≥0),|a|=-a(当a<0)
(2)几何意义:
一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质:
(1)|a|≥0;
(2)|ab|=|a|·|b|;(3)|a/b|=|a|/|b|(b≠0)
(4)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;(5)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|;
思考:
|a+b|=|a|+|b|,在什么条件下成立?
|a-b|=|a|-|b|,在什么条件下成立?
常用解题方法:
(1)化简绝对值:
分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数和负数两种情况)
(2)运用绝对值的几何意义:
数形结合思想,如绝对值最值问题等。
(3)零点分段法:
求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析:
第一类:
考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用
1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示,并且已知表示c的点在原点左侧,请化简下列式子:
(1)|a-b|-|c-b|
解:
∵a<0,b>0∴a-b<0
c<0,b>0∴c-b<0
故,原式=(b-a)-(b-c)=c-a
(2)|a-c|-|a+c|
解:
∵a<0,c<0∴a-c要分类讨论,a+c<0
当a-c≥0时,a≥c,原式=(a-c)+(a+c)=2a
当a-c<0时,a<c,原式=(c-a)+(a+c)=2c
2、 设x<-1,化简2-|2-|x-2||。
解:
∵x<-1∴x-2<0
原式=2-|2-(2-x)|=2-|x|=2+x
3、设3<a<4,化简|a-3|+|a-6|。
解:
∵3<a<4∴a-3>0,a-6<0
原式=(a-3)-(a-6)=3
4、 已知|a-b|=a+b,则以下说法:
(1)a一定不是负数;
(2)b可能是负数;哪个是正确的?
答:
当a-b≥0时,a≥b,|a-b|=a-b,由已知|a-b|=a+b,得a-b=a+b,
解得b=0,这时a≥0;
当a-b<0时,a<b,|a-b|=b-a,由已知|a-b|=a+b,得b-a=a+b,
解得a=0,这时b>0;
综上所述,
(1)是正确的。
第二类:
考察对绝对值基本性质的运用
5、 已知2011|x-1|+2012|y+1|=0,求x+y+2012的值?
解:
∵|x-1|≥0,|y+1|≥0 ∴2011|x-1|+2012|y+1|≥0
又∵已知2011|x-1|+2012|y+1|=0,∴|x-1|=0,|y+1|=0
∴x=1,y=-1,原式=1-1+2012=2012
6、设a、b同时满足:
(1)|a-2b|+|b-1|=b-1
(2)|a-4|=0
那么ab等于多少?
解:
∵|a-2b|≥0,|b-1|≥0 ∴|a-2b|+|b-1|=b-1≥0
∴
(1)式=|a-2b|+b-1=b-1,得|a-2b|=0,即a=2b
∵|a-4|=0 ∴a-4=0,a=4
∵a=2b ∴b=2,ab=4×2=8
7、设a、b、c为非零有理数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,
请化简:
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|。
解:
∵|a|+a=0,a≠0∴a<0
∵|ab|=ab≥0,b≠0,a<0 ∴b<0,a+b<0
∵|c|-c=0,c≠0∴c>0,c-b>0,a-c<0
∴原式=b+(a+b)-(c-b)+c-a=b
8、满足|a-b|+ab=1的非负整数(a,b)共有几对?
解:
∵a,b都是非负整数∴|a-b|也是非负整数,ab也是非负整数
∴要满足|a-b|+ab=1,必须|a-b|=1,ab=0或者|a-b|=0,ab=1
分类讨论:
当|a-b|=1,ab=0时,a=0,b=1或者a=1,b=0有两对(a,b)的取值;
当|a-b|=0,ab=1时,a=1,b=1有一对(a,b)的取值;
综上所述,(a,b)共有3对取值满足题意。
9、已知a、b、c、d是有理数,|a-b|≤9,|c-d|≤16,且|a-b-c+d|=25,
求|b-a|-|d-c|的值?
分析:
此题咋一看无从下手,但是如果把a-b和c-d分别看作一个整体,并且运用绝对值基本性质:
|x-y|≤|x|+|y|即可快速解出。
解:
设x=a-b,y=c-d,则|a-b-c+d|=|x-y|≤|x|+|y|
∵|x|≤9,|y|≤16∴|x|+|y|≤25,|x-y|≤|x|+|y|≤25
∵已知|x-y|=25 ∴|x|=9,|y|=16
∴|b-a|-|d-c|=|-x|-|-y|=|x|-|y|=9-16=-7
第三类:
多个绝对值化简,运用零点分段法,分类讨论
以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法,其步骤是:
求零点、分段、区段内化简、综合。
根据以上材料解决下列问题:
(1) 化简:
2|x-2|-|x+4|
(2) 求|x-1|-4|x+1|的最大值。
解:
(1)令x-2=0,x+4=0,分别求得零点值:
x=2,x=-4,分区段讨论:
当x≤-4时,原式=-2(x-2)+(x+4)=-x+8
当-4<x≤2时,原式=-2(x-2)-(x+4)=-3x
当x>2时,原式=2(x-2)-(x+4)=x-8
综上讨论,原式=…(略)
(2) 使用“零点分段法”将代数式简化,然后在各个取值范围内求出最大值,再加以比
较,从中选出最大值。
令x-1=0,x+1=0,分别求得零点值:
x=1,x=-1,分区段讨论:
当x≤-1时,原式=-(x-1)+4(x+1)=3x+5,当x=-1时,取到最大值等于2;
当-1<x≤1时,原式=-(x-1)-4(x+1)=-5x-3,此时无最大值;
当x>1时,原式=(x-1)-4(x+1)=-3x+3,此时无最大值。
综上讨论,当x=-1时,原式可以取到最大值等于2。
11、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,则此常数的值为多少?
解:
我们知道,互为相反数的两个数,它们的绝对值相等,利用这条性质,可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号,以便于区段内判断正负关系。
即原式=2x+|5x-4|+|3x-1|+4
令5x-4=0,3x-1=0,分别求得零点值:
x=4/5,x=1/3,分区段讨论:
当x≤1/3时,原式=2x-(5x-4)-(3x-1)+4=-6x+9,此时不是恒值;
当1/3<x≤4/5时,原式=2x-(5x-4)+(3x-1)+4=7,此时恒为常数7;
当x>4/5时,原式=2x+(5x-4)+(3x-1)+4=10x-1,此时也不是恒值。
综上所述,若原式恒为常数,则此常数等于7。
12、若|a|=a+1,|x|=2ax,且|x+1|+|x-5|+2|x-m|的最小值是7,则m等于多少?
解:
∵当a≥0时,|a|=a=a+1,得到0=1矛盾 ∴a<0,|a|=-a=a+1,解得a=-1/2。
∵|x|=2ax=-x,即x的绝对值等于它的相反数∴x≤0
令x+1=0,x-5=0,x-m=0,分别求得零点值:
x=-1,x=5,x=m
∵x≤0∴要对m进行分类讨论,以确定分段区间:
(1) 若m≥0,则x取值范围分成x≤-1和-1<x≤0
当x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m,x=-1时取到最小值8+2m
当-1<x≤0,原式=(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-2x+6+2m,x=0时取到最小值6+2m
所以当m≥0时,最小值是6+2m,令6+2m=7,得m=0.5,符合题意
(2) 若-1≤m<0,则x取值范围分成x≤-1和-1<x≤m和m<x≤0
当x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m,x=-1时取到最小值8+2m,因为-1≤m<0,所以最小值≥6
当-1<x≤m,原式=(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-2x+6+2m,x=m时取到最小值6
所以当-1≤m<0时,最小值是6,和题意不符。
(3) 若m<-1,则x取值范围分成x≤m和m<x≤-1和-1<x≤0
当x≤m,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m,x=m时取到最小值4-2m
当m<x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)+2(x-m)=4-2m,这时为恒值4-2m
当-1<x≤0,原式=(x+1)-(x-5)+2(x-m)=2x-2m+6,无最小值
所以当m<-1时,最小值是4-2m,令4-2m=7,得m=-1.5,符合题意
综上所述,m=0.5或-1.5。
第四类:
运用绝对值的几何意义解题
1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示x的点到原点的距离,
即|x|=|x-0|
|x-1|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示1的点的距离,
|x+2|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示-2的点的距离,
|a-b|的几何意义是在数轴上表示a的点到表示b的点的距离。
2、设A和B是数轴上的两个点,X是数轴上一个动点,我们研究下,当X在什么位置时,X到A点和B点的距离之和最小?
很显然,当X点在A点和B点之间时,X点到两个点的距离之和最小,最小值即为A点到B点的距离。
当再增加一个C点时,如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。
经过研究发现,当X点在中间的点即C点时,它到三个点的距离之和最小,最小值也是A点到B点的距离。
继续研究下去,我们可以得到结论:
如果有奇数个点,当动点处在最中间那个点的位置时,它到所有点的距离之和最小。
如果有偶数个点,当动点处在最中间的两个点之间时,它到所有点的距离之和最小。
用一句话来记忆,就是奇中偶范。
即奇数个点时,取最小值是在最中间的点。
偶数个点时,取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。
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