第十四章一次函数Word文档下载推荐.docx
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知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1函数自变量的取值范围
【专题解读】一般地,求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式,通过解不等式组下结论.
例1函数
中,自变量x的取值范围是()
A.x≠0B.x≠1
C.x≠2D.x≠-2
分析由x+2≠0,得x≠-2.故选D.
例2函数
A.x≥-1B.-1<x<2
C.-1≤x<2D.x<2
分析 由
得
即-1≤x<2.故选C.
专题2一次函数的定义
【专题解读】一次函数一般形如y=kx+b,其中自变量的次数为1,系数不为0,两者缺一不可.
例3在一次函数y=(m-3)xm-1+x+3中,符x≠0,则m的值为.
分析由于x≠0,所以当m-1=0,即m=1时,函数关系式为y=x+1.当m-3=0,即m=3时,函数关系式为y=x+3;
当m-1=1,即m=2时,函数关系式为y=(m-2)x+3,当m=2时,m-2=0,此时函数不是一次函数.所以m=1或m=3.故填1或3.
专题3 一次函数的图象及性质
【专题解读】一次函数y=kx+b的图象为一条直线,与坐标轴的交点分别为
,(0,b).它的倾斜程度由k决定,b决定该直线与y轴交点的位置.
例4已知一次函数的图象经过(2,5)和(-1,-1)两点.
(1)画出这个函数的图象;
(2)求这个一次函数的解析式.
分析已知两点可确定一条直线,运用待定系数法即可求出对应的函数关系式.
解:
(1)图象如图14-104所示.
(2)设函数解析式为y=kx+b,则
解得
所以函数解析式为y=2x+1.
二、规律方法专题
专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系
【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集,反之,由方程(组)的解也可确定一次函数表达武.
例5 如图14-105所示,已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是 .
分析 由图象知当x>-2时,y=3x+b对应的y值大于y=ax-3对应的y值,或者y=3x+b的图象在x>-2时位于y=ax-3的图象上方.故填x>-2.
专题5 一次函数的应用
【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时,关键是将实际问题转化为数学问题.
例6假定拖拉机耕地时,每小时的耗油量是个常最,已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升,耕地3小时油箱中余油22升.
(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)这台拖拉机工作3小时后,油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?
分析 由两组对应量可求出函数关系式,再画出图象(在自变量取值范围内).
(1)设函数关系式为Q=kt+b(k≠0).
由题意可知
∴
∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q=-6t+40.
∵40-6t≥0,∴t≤
.
∴自变量t的取值范围是0≤t≤
(2)当t=0时,Q=40;
当t=
时,Q=0.
得到点(0,40),(
,0).
连接两点,得出函数Q=-6t+40(0≤t≤
)的图象,如图14-106所示.
(3)当Q=0时,t=
,那么
-3=
(小时).
∴拖拉机还能耕地
小时,即3小时40分.
规律.方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题,如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题,我们应善于总结规律,达到灵活运用的目的.
三、思想方法专题
专题6 函数思想
【专题解读】函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系,抽象升华为函数模型,进而解决有关问题的方法,函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数思想可以解决许多数学问题.
例7 利用图象解二元一次方程组
分析 方程组中的两个方程均为关于x,y的二元一次方程,可以转化为y关于x的函数.由①得y=2x-2,由②得y=-x-5,实质上是两个y关于x的一次函数,在平面直角坐标系中画出它们的图象,可确定它们的交点坐标,即可求出方程组的解.
由①得y=2x-2,
由②得y=-x-5.
在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2,y=-x-5的图象,如图14-107所示.
观察图象可知,直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1,-4).
∴原方程组的解是
规律·
方法 解方程组通常用消元法,但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数,画出这两个函数的图象,那么它们的交点坐标就是方程组的解.
例8 我国是一个严重缺水的国家,大家应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当小明离开x小时后,水龙头滴了ymL水.
(1)试写出y与x之间的函数关系式;
(2)当滴了1620mL水时,小明离开水龙头几小时?
分析已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水,又∵1小时=3600秒,∴1小时滴水(3600×
2)滴,又∵每滴水约0.05mL,每小时约滴水3600×
2×
0.05=360(mL).
(1)y与x之间的函数关系式为y=360x(x≥0).
(2)当y=1620时,有360x=1620,∴x=4.5.
∴当滴了1620mL水时,小明离开水龙头4.5小时.
专题7 数形结合思想
【专题解读】数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合思想在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.
例9如图14-108所示,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解析式.
分析通过观察图象可以看出,要确定一次函数的关系式,只要确定B点的坐标即可,因为OB=OA=2,所以点B的坐标为(0,-2),再结合A点坐标,即可求出一次函数的关系式.
设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).
∵OA=OB,点A的坐标为(2,0),
∴点B的坐标为(0,-2).
∵点A,B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b,
∴
∴一次函数的解析式为y=x-2.
【解题策略】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用,在解决有关函数问题时有着重要的作用.
专题8 分类讨论思想
【专题解读】分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法.分类讨论思想既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学方法.分类的关键是根据分类的目的,找出分类的对象.分类既不能重复,也不能遗漏,最后要全面总结.
例10 在一次遥控车比赛中,电脑记录了速度的变化过程,如图14-109所示,能否用函数关系式表示这段记录?
分析 根据所给图象及函数图象的增减性,本题要分三种情况进行讨论.电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m/s)之间的关系,在10s内,赛车的速度从0增加到7.5m/s,又减至0,因此要注意时间对速度的影响.
观察图象可知.
当t在0~1s内时,速度v与时间t是正比例函数关系,v=7.5t(0≤t≤1).
当t在1~8s内时,速度v保持不变,
v=7.5(1<t≤8);
当t在8~10s内时,速度v与时间t是一次函数关系,设一次函数为v=kt+b(k≠0),又一次函数图象过(8,7.5)和(10,0),
则
∴v=-3.75t+37.5(8<t≤10).
即
专题9方程思想
【专题解读】方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法.在函数及其图象中,方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式.
例11已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-3,-2)及点B(1,6),求此函数关系式,并作出函数图象.
分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y=kx+b中,通过解方程组求出k,b的值,从而确定函数关系式.
由题意可知
∴函数关系式为y=2x+4.图象如图14-110所示.
2011中考真题精选
一、选择题
1.(2011新疆乌鲁木齐,5,4)将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为( )
A、y=2x-1B、y=2x-2C、y=2x+1D、y=2x+2
考点:
一次函数图象与几何变换。
专题:
探究型。
分析:
根据函数图象平移的法则进行解答即可.
解答:
解:
直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2(x-1),
即y=2x-2.
故选B.
点评:
本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.
2.(2011南昌,8,3分)已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则b的值可以是( )
A.﹣2B.﹣1C.0D.2
一次函数图象与系数的关系.
探究型.
根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号,再找出符合条件的b的可能值即可.
∵一次函数的图象经过第一、二、三象限,∴b>0,∴四个选项中只有2符合条件.故选D.
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当b<0时,函数图象与y轴相较于负半轴.
3.(2011陕西,4,3分)下列四个点,在正比例函数
的图像上的点是()
A.(2,5)B.(5,2)C.(2,-5)D.(5,-2)
一次函数图象上点的坐标特征。
函数思想。
根据函数图象上的点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上,一定满足函数的解析式.根据正比例函数的定义,知
是定值.
由
,得
=﹣
;
A、∵
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- 第十四 一次 函数