创新设计一轮复习 第八章 第5节 第1课时Word文件下载.docx
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-a≤y≤a
对称性
对称轴:
坐标轴;
对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
[微点提醒]
点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<
1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1;
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>
1.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2+ny2=1(m>
0,n>
0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)+=1(a>
0)与+=1(a>
0)的焦距相同.( )
解析
(1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.
(2)因为e===,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√
2.(选修2-1P49T1改编)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是________.
解析 因为|PF1|+|PF2|=10>
|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b==4,故点P的轨迹方程为+=1.
答案 +=1
3.(选修2-1P49A6改编)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.
解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,
所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),
由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±
1,
把y=±
1代入+=1,得x=±
,
又x>0,所以x=,
∴P点坐标为(,1)或(,-1).
答案 (,1)或(,-1)
4.(2018·
张家口调研)椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(±
3,0)B.(0,±
3)C.(±
9,0)D.(0,±
9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦点坐标为(0,±
3).
答案 B
5.(2018·
全国Ⅰ卷)已知椭圆C:
+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.B.C.D.
解析 不妨设a>
0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以焦点在x轴上,且c=2,所以a2=4+4=8,所以a=2,所以椭圆C的离心率e==.
答案 C
6.(2018·
武汉模拟)曲线+=1与曲线+=1(k<
9)的( )
A.长轴长相等B.短轴长相等
C.离心率相等D.焦距相等
解析 曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为.曲线+=1(k<
9)表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为2,短轴长为2,焦距为8,离心率为.对照选项,知D正确.
答案 D
第1课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】
(1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
(2)(2018·
德阳模拟)设P为椭圆C:
+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为( )
A.24B.12C.8D.6
解析
(1)连接QA.由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.
又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C:
+=1上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,
∴|PF1|=6,|PF2|=8,
又∵|F1F2|=2c=2=10,
∴易知△PF1F2是直角三角形,S△PF1F2=|PF1|·
|PF2|=24,
∵△PF1F2的重心为点G,∴S△PF1F2=3S△GPF1,
∴△GPF1的面积为8.
答案
(1)A
(2)C
规律方法
(1)椭圆定义的应用主要有:
判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【训练1】
(1)(2018·
福建四校联考)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2B.6C.4D.2
衡水中学调研)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为________.
解析
(1)由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.
(2)由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|,∴|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|==5,2a=10,∴|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.
答案
(1)C
(2)-5
考点二 椭圆的标准方程
【例2】
(1)已知两圆C1:
(x-4)2+y2=169,C2:
(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.-=1B.+=1
C.-=1D.+=1
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为________________.
解析
(1)设圆M的半径为r,
则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>
8=|C1C2|,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
且2a=16,2c=8,
所以a=8,c=4,b====4,
故所求的轨迹方程为+=1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为+=1(a>
0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为+y2=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为+=1(a>
与a>
b矛盾,故舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>
0,m≠n).
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
答案
(1)D
(2)+y2=1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有:
(1)定义法:
根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:
根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>
0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
【训练2】
(1)(2018·
济南模拟)已知椭圆C:
0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
榆林模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
A.+y2=1B.+=1
解析
(1)椭圆长轴长为6,即2a=6,得a=3,
∵两焦点恰好将长轴三等分,
∴2c=×
2a=2,得c=1,
因此,b2=a2-c2=9-1=8,
所以此椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意,设椭圆方程为+=1(a>
0),将A(c,y1)代入椭圆方程得+=1,由此求得y=,所以|AB|=3=,又c=1,a2-b2=c2,可解得a=2,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.
答案
(1)B
(2)C
考点三 椭圆的几何性质
多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3-1】(2018·
泉州质检)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8B.7C.6D.5
解析 因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6<
m<
10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例3-2】(2018·
全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:
0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°
,则C的离心率为( )
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上,如图所示,
设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°
∴|PF2|=|F1F2|=2c.
∵|OF2|=c,过P作PE垂直x轴于点E,则∠PF2E=60°
,所以|F2E|=c,|PE|=c,即点P(2c,c).∵点P在过点A,且斜率为的直线上,
∴=,解得=,∴e=.
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3-3】(2017·
全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:
+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°
,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)
解析 ①当焦点在x轴上,依题意得
0<
3,且≥tan=.
∴0<
3且m≤1,则0<
m≤1.
②当焦点在y轴上,依题意m>
3,且≥tan=,∴m≥9,
综上,m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求
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