第16讲 枚举归纳与猜想Word文档格式.docx

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　　再考虑第二个条件，从中选出符合条件者：

　　169，256，361。

最后考虑第三个条件，排除不合格的256，于是找到答案是169和361。

　　说明：

这里我们采用了枚举与筛选并用的策略，即依据题中限定的条件，面对枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数，确定满足条件的三位数，从而找到问题的答案。

　　例2哥德巴赫猜想是说：

每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

问：

168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数是1？

168表示成两个两位质数之和，两个质数都大于68。

个位是1且大于68的两位数有71，81，91，其中只有71是质数，所以一个质数是71，另一个质数是168-71=97。

解此题要求同学们记住100以内的质数。

如果去掉题目中“其中一个的个位数是1”的条件，那么上述答案不变，仍是唯一的解答。

　　如果取消位数的限制，那么还有

　　168=5+163，168=11+157，168=17+151，…

　　哥德巴赫猜想是1742年提出来的，至今已有250多年的历史了，它是数论中最有名的问题，中外许多著名的数学家都研究过，包括我国著名数学家华罗庚教授。

　　例3有30枚贰分硬币和8枚伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？

注意到所有的38枚硬币的总币值恰好是100分（即1元），于是除了50分与100分外，其他98种币值可以两两配对，即

　　（1，99），（2，98），（3，97），…，（49，51）。

　　每一对币值中有一个可用若干枚贰分和伍分硬币构成，则另一个也可以，显然50分和100分的币值是可以构成的，因此只需要讨论币值为1分、2分、3分……49分这49种情况。

　　1分和3分的币值显然不能构成。

　　2分、4分、6分……48分这24种偶数币值都可以用若干枚贰分硬币构成，因为贰分硬币的总数为30个。

　　5分、7分、9分……49分这23种奇数币值，只需分别在4分、6分、8分……48分币值的构成方法上，用1枚伍分硬币换去两枚贰分硬币即可，比如37分币值，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用1枚伍分硬币换下2枚贰分硬币，所得的硬币值即为37分。

　　综合以上分析，不能用若干枚贰分和伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分、3分、97分、99分。

　　例4一个两位数被7除余1，如果交换它的十位数字与个位数字的位置，所得到的两位数被7除也余1，那么这样的两位数有多少个？

都是几？

　　两式相减，得9（a-b）=7（n-m）。

于是7|9（a-b）。

因为（7，9）=1，所以7|a-b，得到a-b=0，或a-b=7。

（1）当a-b=0，即a=b时，在两位数11，22，33，44，55，66，77，88，99中逐一检验，只有22，99符合被7除余1的条件。

（2）当a-b=7，即a=b＋7时，b=1，或b=2。

在81，92这二个数中，只有92符合被7除余1的条件。

　　因为a，b交换位置也是解，所以符合条件的两位数共有四个，它们是22，29，92及99。

这里我们把题中限定的条件放宽，分成两类，枚举出每一类的两位数，逐一检验排除不符合条件的两位数，确定符合条件的两位数，从而找到问题的答案。

　　此题也可以枚举出被7除余1的所有两位数：

　　15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99，

　　再根据题意逐一筛选。

　　例5把1，2，3，4，5，6分别填入左下图所示的表格内，使得每行相邻的两个数左边的小于右边的，每列的两数上面的小于下面的。

有几种填法？

如右上图，由已知可得a最小，f最大，即a=1，f=6。

根据b与d的大小，可分两种情况讨论。

　　当b＜d时，有b=2，c=3或4或5，可得下列3种填法：

　　当b＞d时，有b=3，d=2，c=4或5，可得下列2种填法：

　　综上所述，一共有5种填法。

　　例6今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，现需弄清楚伪币比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。

试问，怎样利用这架天平称两次，来达到目的？

在天平两端各放50枚硬币。

　　如果天平平衡，那么所剩一枚为伪币，于是取一枚伪币和一枚真币分放在天平两端，即可判明真币与伪币谁轻谁重。

　　如果天平不平衡，那么取下重端的50枚硬币，并将轻端的50枚硬币分放两端各25枚，若此时天平平衡，则说明伪币在取下的50枚硬币中，即伪币比真币重；

若此时天平仍不平衡，则说明伪币在较轻的50枚硬币中，即伪币比真币轻。

　　在上述解答过程中，我们面临着“平衡”或“不平衡”两种可能的状态，对这两种状态，逐一检验，即得到问题的结论。

　　由上述例题可以看出运用枚举法的关键在于：

（1）如何将整体分解成各个特殊情况，也就是要注意分类的方法，分类必须适合于一一列举和研究，同时分类必须不重也不漏。

（2）善于对列举的结果进行综合考察（包括筛选），并导出结论。

二、归纳与猜想

　　“猜想”是一种重要的思维方法，对于确定证明方向，发现新定理，都有重大意义。

最著名的例子就是哥德巴赫猜想，1742年曾任中学教师的哥德巴赫和大数学家欧拉通过观察实例：

　　6=3＋3，8=3＋5，10=3＋7，12=5＋7，

　　14=3＋11，16=3＋13，18=7＋11，…

　　提出如下猜想：

“任何大于或等于6的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。

”这就是闻名于世的哥德巴赫猜想，至今还没有给以逻辑证明，所以仍是一个猜想。

二百多年以来，她像一颗璀璨夺目的明珠，吸引了无数数学家和数学爱好者为之奋斗。

　　通过观察若干具体实例，发现存在于它们之中的某种似乎带规律性的东西，我们相信它具有普遍意义，对更多更一般的实例同样适用，从而把它当做一般规律或结论，这种发现规律或结论的方法就是归纳法。

当然，归纳出来的规律或结论一般来说还只是一种猜想，它是否正确，还有待于进一步证明。

　　例如，我们可能碰巧看到

　　1＋8＋27＋64=100，

　　改变一下形式：

　　13＋23＋33＋43=102=（1＋2＋3＋4）2。

　　这个形式很规则，这是偶然的，还是确有这样的规律？

不妨再试验一下：

　　13＋23=9=32=（1＋2）2，

　　13＋23＋33=36=62=（1＋2＋3）2。

　　再多一些数试验一下：

　　13＋23＋33＋43＋53=225=152=（1＋2＋3＋4＋5）2。

　　于是猜想：

　　又如，求凸n边形内角和。

观察分析：

　　三角形内角和为180°

；

　　四边形可分为2个三角形，故内角和为2×

180°

　　五边形可分为3个三角形，故内角和为3×

　　归纳猜想：

凸n边形的内角和为（n-2）×

。

　　例7下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：

（1）1，5，9，13，17，（）；

　　（4）32，31，16，26，（），（），4，16，2，11。

分析与解：

要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所依照的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩。

（1）考察相邻两数的差：

　　5-1=4，　9-5=4，

　　13-9=4，17-13=4。

　　可见，相邻两数之差都是4。

按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4=21。

（2）像

（1）那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为

　　可以发现：

　　（3）为探究规律，作适当变形：

　　这样一来，分子部分呈现规律：

自3起，依次递增2，故括号内的数的分子为13。

再看分母部分：

4，8，14，22，32。

相邻两数之差得4，6，8，10。

可见括号内的数的分母应为32＋12=44。

　　（4）分成两列数：

奇数位的数为

　　　　32，16，（），4，2。

　　可见前面括号中应填入8；

偶数位的数为

　　　　31，26，（），16，11。

　　括号中的数应填入21。

所以，两括号内依次填入8，21。

从上面例子可以看到，观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要注意根据问题特点不断调整自己观察的角度，以利于观察出有一定隐蔽性的内在规律。

　　例8下面是七个分数：

　　先约分，请你再划去一个与众不同的数，然后按照一定的规律将余下的六个数排列起来，并按你的规律接下去写出第七个数。

　　分析：

约分是容易的，除其中一个数外，另外六个数必有联系。

已给分数经约分后是

这个题目里给出了解题的操作指示，即化简、按规律分类、排序、添加新数，做起来感觉很顺利、轻松。

做完题后体会一下命题者的用意，他是想让学生了解和学会怎样归纳和猜测。

在许多问题中，各元素从表面上看没什么联系，也看不出什么规律，这就需要我们像做约分那样透过表面看本质，扒掉“披在元素身上花花绿绿的外衣”，从而发现彼此间的共性和联系。

这个题的命题者给出了一个做归纳和猜测的示范，应引起读者重视。

　　例9　将正方形纸片如下图所示由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。

按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角。

当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？

一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心。

　　连续两次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有42-1=41=4（个）小洞孔。

　　连续三次操作后，折纸层数为43，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形上留有43-1=42=16（个）小洞孔。

　　……

　　按上述规律不难断定：

　　连续五次操作后，折纸层数为45，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有小洞孔

　　45-1=44=256（个）。

　　例10将自然数排成如下的螺旋状：

　　第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？

由图可知，前几个拐弯处的数依次是

　　2，3，5，7，10，13，17，21，26，…

　　这是一个数列，题目要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规律。

　　把数列的后一项减去前一项，得一新数列：

　　1，2，2，3，3，4，4，5，5，…

　　把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到

　　2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…

　　于是，原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和，即

　　a1=2=1+1=2，