第四章 选修3课程的作用和定位Word格式文档下载.docx
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在系列3的教学中,要不断地开发资源,把难的东西变容易,用具体来反映一般,用直观来反映抽象。
系列3课程是不进入高考的课程,但是学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。
各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。
下面我们按专题介绍:
背景,知识结构和内容定位,重、难点定位,教学要求,参考文献等。
第二节选修3各专题的定位和教学要求
2.1数学史选讲
一、背景
每一个学生从小学起,直到大学中的理工农医等学科,乃至不少专业的研究生阶段,都要学习数学,近年来有一种新的趋势,就是人文社会科学的学生也需要继续学习数学,为什么我们的学生要学那么长时间的数学?
数学为什么这么重要?
这是由数学本身的特点、作用、意义所决定的。
例如,学习数学有利于培养我们的思维能力,如:
推理论证的能力、空间想象能力、计算能力、抽象归纳能力、数据处理能力、以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力等等;
此外,还会有利于提高我们解决日常生活中遇到的各种实际问题,等等。
开设本专题还有一个十分重要的目的,就是希望能从数学发展的历史来认识数学。
每一门学科都有自己的历史,对于数学来说,更是源远流长,她与人类的文明共同发展,本专题的学习将帮助学生从历史的角度,了解数学在人类发展史上所起的不可估量的意义,了解数学文化在人类文化中的地位,了解数学与其他学科的历史渊源和联系,了解数学在人们日常生活中的作用,了解数学发展中重大的事件,了解为数学发展呕心沥血的杰出人物,等等。
我们希望通过开设”数学史选讲”开拓学生的视野,提高学生对数学的价值、意义、作用的认识,激发学生学习数学的兴趣和动力。
这对于将来在各行各业工作的学生来说,都会起到积极的作用。
学习”数学史选讲”这门课程,不仅可以开拓自己的视野,提高学习数学的兴趣,而且它将会对日常的数学学习起到积极的作用,对于一些重要的数学概念,通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。
”数学史选讲”是不进入高考的,我们希望教师和学生不要以过分“功利”的眼光来看待这件事情,应该值得思考的地方是,一旦提高了学生学习数学的兴趣,增强了学习数学的动力,了解了学习数学的作用,那么他们的潜在能量是不可估量的。
二、知识结构和内容定位
1.知识结构框图
在“数学史选讲”中,选取了数学发展史上重要的并且和高中数学教学紧密联系的内容,不同的教材有不同的选择,例如,可以采取以下的选择:
第一讲,数学发展的几个重要时期
第二讲,代数学的发展
第三讲,几何学的发展
第四讲,微积分——分析的发展
第五讲,无限——集合论——数理逻辑——计算机科学
第六讲,名题赏析。
我们可以用下列框图具体表示
2.内容定位
1)在高中课程的“数学史选讲”中,一定要结合高中学生的认知水平和知
识基础。
2)在高中课程的“数学史选讲”中,不强调数学史的体系严密,可以从中
选择几个能够引起中学生兴趣的专题。
3)在高中课程的“数学史选讲”中,选材一定要生动活泼。
三、教学要求
“数学史选讲”专题不是系统地讲授数学史。
主要是结合中、小学有关的数学内容,例如,对于一些重要的数学概念,可以通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。
也可以通过介绍相关的史料,或数学发展的梗概,提高学生对数学的价值、意义、作用的认识,激发学生学习数学的兴趣和动力。
也可以结合中学数学内容较系统地介绍一些专题。
如:
数学发展概论、几何发展史(欧式几何、非欧几何、分形几何等)、代数发展史(数与符号、方程等)、微积分等。
还可以介绍一些重要的数学问题,如:
费马大定理、欧拉公式、集合的势等,通过这些问题使学生了解数学的发展,提高学生学习数学的兴趣。
在开设“数学史选讲”的过程中,实验区大体有两种不同的讲授方式,一种是集中教学;
另一种是把“数学史选讲”的各个专题插入到日常教学中,例如,在讲授“立体几何初步”时,可以介绍几何发展史,在讲授“平面向量”时,可以介绍运算在数学发展中的作用,在讲授“导数及其应用”时,可以介绍微积分发展史以及近代分析学的一些情况,等等。
从实验区的情况来看,“数学史选讲”是一个受学生欢迎的专题,教师在教学中应认识到:
本专题可以帮助教师养成一个不断开发数学资源的习惯,使得日常教学更加丰富、生动和深刻;
本专题可以更好的把握日常教学中某些知识点的本质,以及他们在整个数学中的位置;
教师应在日常教学中,通过对每一部分数学史内容的介绍,引起学生的兴趣。
在本专题的教学中,要引导学生写好读书报告,这是提高数学素养的重要载体,希望老师在这方面要下功夫。
建议教师在条件允许的情况下,积极创造条件,开设”数学史选讲”这一课程,把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。
五、文献参考
[1]李文林:
数学史概论,高等教育出版社,2002
[2]李文林:
文明之光——图说数学史,山东教育出版社,2005
[3]张顺燕:
数学的源与流,高等教育出版社,2000
[4]张顺燕:
数学的美与理,北京大学出版社,2004
[5]M.克莱因:
古今数学思想,张理京等译,上海科学技术出版社,1979
[6]A.亚历山大洛夫等,数学——它的内容、方法和意义,孙小礼等译,1958
[7]M.克莱因:
现代世界中的数学,齐民友等译,上海教育出版社,2004
2.2信息安全与密码
进入21世纪,“信息”是我们听到或看到最多的词汇之一。
我们天天都在与信息打交道,比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影视等等,交流信息的方式也是多种多样的,如当面交谈、电话交流、发送电报、手语、旗语等.现在还可以用电子邮件、可视电话等方式来交流和传递信息.
有些信息是公开的,大家都可以知道.但是,也有一些信息是需要保密的,比如银行里的存款,仅仅希望自己人知道,不希望让“外人”知道。
政治、军事、外交、金融等活动中,信息安全更是一件特别重要的事情.
为了保证信息的安全,在信息传递的过程中,经常要使用密码,进行保密通信。
通过本专题的学习,我们将了解信息安全的基本原理、基本方法以及在社会发展中的重要意义,并了解数学在信息安全中不可替代的作用。
2.内容定位
在本专题中,以下几点是需要特别注意的。
1)认识映射(函数)在信息安全中的作用。
当甲、乙双方传递信息时,为了不使信息被第三者知道,通常的作法是用密码对信息加密。
比如,5是一个信息,甲要把5告诉乙,甲在发送信息之前,先将5加3,然后将8传输给乙。
乙收到加密后的信息8,再用8减去3就可以获取原来的信息。
加3是加密的过程,减3是解密的过程,加3和减3是甲、乙事先约定好的,这个过程可以用图示清晰地表示出来。
在解决这件事情的过程中,加密和解密是最重要的。
自古以来,人们发明了许多加密和解密的方法。
由于人们不断地寻求破译加密信息的方法,所以对密码的信息安全性能的要求不断提高。
加密和解密的方法在不断地发展。
从上图不难看出,加密的过程其实就是映射(函数)作用的过程。
加密就是把函数作用在信息上,得到函数值(加密的信息)的过程;
解密的过程其实就是函数反作用的过程,就是把函数值(加密的信息)还原成自变量的值(原来的信息)的过程。
不难看出,‘加密函数’和‘解密函数’是互为反函数的,显然,‘加密函数’是一个一一对应的映射,这样就可以保证“加得上去”也能“解得下来”。
人们希望‘加密函数’要简单,即加密要容易;
解密时,对知道密码的人要容易;
对不知道密码的人要很困难,甚至无法解密。
要得到这样的‘加密函数’和‘解密函数’,靠的是数学中函数的思想。
2)单向函数与公开密钥原理
由上可知,加密函数和解密函数是互为反函数的,即,加密函数是一个一一对应的映射,记作f,它存在反函数f-1,显然有:
f-1(f(x))=x。
如果能找到这样一种加密函数f(加密密码),即使把它公开,人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1(解密密码)。
也就是说,如果我们把加密函数公开,人们也无法找到解密函数来破解密码,我们把这样的加密函数称为单向函数。
在一般的密码体制中,通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。
例如,n=100个单位要相互传输信息,则每个单位都需要记住99对加密、解密的密码。
整个系统需要
(约等于5000)对加密、解密密码。
而且还常常需要更换密码,以加强保密功能。
如果单位的个数n更大,情况就更复杂。
有了单向函数就可以把加密函数(密码)公开,所有公开的加密函数编成一个加密函数(密码)本,供人们查阅。
对于100个单位只需要公开100个加密函数(密码),而每一个单位只需要记住一个解密函数(密码)就可以了。
我们把这种体制称为公开密钥体制。
公开密钥系统的具体工作原理如下:
用户A需要把信息x发给用户B,操作程序如下:
.用户A在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f;
.用户A用f对信息x进行加密,得到y=f(x),并将密文y发给用户B;
.用户B收到密文y,用自己的解密密钥f-1进行解密,得到
f-1(y)=f-1(f(x))=x。
这样,用户B就收到了用户A发来的信息x。
其他人即使知道密文y是发给用户B的,也能查到B的加密密钥f,但是由于从f求f-1非常困难,在需要的保密时间内是不能把y恢复成明文x的。
采用这种公开密钥体制,大大减少了每个单位保存的密钥数量,从而可以减少很多失误。
保密通信体系的信息安全水平因此大大提高。
3)在学习本专题的过程中,需要掌握常见的密码,例如,恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等,重要的是学会运用这些密码,但是,要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情,需用到数论的有关知识,对一般的学生,重要的是理解信息安全的基本原理。
有兴趣的同学可以进一步搞清楚这些数学原理,对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。
三、重、难点
本专题的重、难点是理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
四、教学要求
1)在本专题的教学中,应该把理解保密通信的基本形式和公开密钥原理放在重要的位置上,不要把过多的精力放在数学推导上,可以针对学生的不同情况提出不同的要求,对于感兴趣的同学可以引导他们掌握数学原理。
2)在本专题的教学中,可以设置一些活动,通过操作、实践来帮助学生理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
3)在本专题的教学中,对于数论的知识一定要把握好“度”,能掌握的同学就掌握,不必对全体学生作统一要求。
4)在本专题的教学中,要引导学
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