数值实验题Word文档下载推荐.docx
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%输出:
加扰动后得到的全部根
clc
result=inputdlg({'
请输入扰动项:
在[020]之间的整数:
'
},'
charpt1_1'
1,{'
19'
});
Numb=str2num(char(result));
if((Numb>
20)|(Numb<
0))errordlg('
请输入正确的扰动项:
[020]之间的整数!
);
return;
end
请输入(01)之间的扰动常数:
0.00001'
ess=str2num(char(result));
ve=zeros(1,21);
ve(21-Numb)=ess;
root=roots(poly(1:
20)+ve);
x0=real(root);
y0=imag(root);
plot(x0'
y0'
'
*'
disp(['
对扰动项'
num2str(Numb),'
加扰动'
num2str(ess),'
得到的全部根为:
]);
disp(num2str(root));
(二)实验结果分析
(1)对于x19项的扰动ess,不同的取值对应的结果如下所示。
●对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:
19.9961,19.0257,17.9085,17.1508,15.7982,15.181,13.8995,13.0571,11.9753,11.0109,9.99608,9.00111,7.99978,7.00003,6,5,4,3,2,1。
●对扰动项19加扰动1e-009得到的全部根为:
19.952,19.2293,17.6573+0.692896i,17.6573-0.692896i,15.4524+0.875524i,15.4524-0.875524i,13.3527+0.486992i,13.3527-0.486992i,11.8578,11.0427,9.9916,9.00201,7.99952,7.00009,5.99999,5,4,3,2,1。
●对扰动项19加扰动1e-007得到的全部根为:
20.422+0.999203i,20.422-0.999203i,18.1572+2.4702i,18.1572-2.4702i,15.3149+2.69865i,15.3149-2.69865i,12.8466+2.06246i,12.8466-2.06246i,10.9216+1.10366i,10.9216-1.10366i,9.56629,9.11508,7.99387,7.00027,6,5,4,3,2,1。
●对扰动项19加扰动1e-005得到的全部根为:
22.5961+2.3083i,22.5961-2.3083i,18.8972+5.00563i,18.8972-5.00563i,14.9123+4.95848i,14.9123-4.95848i,12.0289+3.73551i,12.0289-3.73551i,10.059+2.33021i,10.059-2.33021i,8.63828+1.0564i,8.63828-1.0564i,7.70896,7.028,5.99942,5.00001,4,3,2,1。
根在复平面上的位置如图所示:
图ess=1e-010图ess=1e-009
图ess=1e-007图ess=1e-005
从实验的图形中可以看出,当ess充分小时,方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小,当ess逐渐增大时,方程的解就出现了病态解,这些解都呈现复共轭性质。
并且,病态解首先出现在x=16这个解附近,如ess=1e-009时,x=20,19,12,11,…,2,1的解基本误差不大。
在x=16附近,扰动后的解偏离实轴程度较严重,随着ess的增大,扰动对解的影响从x=16附近开始向两边波及,并且偏离实轴的幅度越来越大。
x=0,1,2,3,4,5这些阶次较小的解对x19上的扰动最不敏感。
(2)将扰动项加到x18上后,ess=1e-009时方程的解都比较准确,没有出现复共轭现象。
ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当,即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。
对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭,误差很小;
对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭,误差很小。
因此,扰动作用到xn上时,n越小,扰动引起的误差越小。
(3)
令
(E.3.1)
的零点均为ε的函数,分别它们记为
,显然有
。
研究
关于ε的变化情况,将
表示为
(E.3.2)
关于ε的变化或敏感程度可以用其导数表示,故在(E.3.2)两边关于ε求导:
(E.3.3)
为了知道原方程的根是如何受扰动ε的影响,需要知道
在(E.3.3)两边令ε
,得到
(E.3.4)
在令
,则得
,即
(E.3.5)
由于
,故
(E.3.6)
计算表明,对根1,此导数的绝对值只有
,极其微小;
但从第7个根起,此导数的绝对值就从
开始,最大直到
,非常大!
所以必定造成病态。
这就是根源。
现在来估计扰动对根的影响。
对根
的影响,由(E.3.5)可得条件数
(E.3.7)
经过计算发现,扰动对
的影响最大,对
的影响最小,与实际计算结果一致。
实验1.2误差传播与算法稳定性
实验目的:
体会稳定性在选择算法中的地位。
误差扩张的算法是不稳定的,是我们所不期望的;
误差衰竭的算法是稳定的,是我们努力寻求的。
实验内容:
考虑一个由积分定义的序列
(E.1.4)
显然En>
0,n=1,2,…当n=1时,利用部分积分得E1=1/e。
而对n≥2,经分部积分可得递推关系En=1-nEn-1,n=2,3,…(E.1.5)
由式(E.1.4)得En≤1/(n+1)。
由递推关系式(E.1.5),可得计算式(E.1.4)积分序列{En}的两种算法。
其一为式(E.1.5)的直接应用,即
E1=1/e,En=1–nEn-1,n=2,3,…(E.1.7)
另一种算法则是利用式(E.1.5)变形得到
EN=0,En-1=(1-En)/n,n=N-1,N-2,…,3,2.(E.1.8)
实验步骤及结果分析:
(一)实验源程序
functiont_charpt1_2
%数值实验1.2:
误差传播与算法稳定性
%输入:
递推式选择及递推步数
各步递推值及误差结果,以及递推值和误差与递推步数的关系图
promps={'
请选择递推关系式,若选E.1.7,请输入1,否则输入2:
};
result=inputdlg(promps,'
charpt1_2'
1'
Nb=str2num(char(result));
if((Nb~=1)&
(Nb~=2))errordlg('
请选择递推关系式,若选E.1.7,请输入1,否则输入2!
请输入递推步数n:
10'
steps=str2num(char(result));
if(steps<
1)errordlg('
递推步数错误!
result=zeros(1,steps);
err=result;
if(Nb==1)
n=1;
result(n)=1/exp
(1);
while(n<
steps)
result(n+1)=1-n*result(n);
err(n+1)=abs(result(n+1)-func(n+1));
n=n+1;
end
elseif(Nb==2)
n=steps;
err(n)=abs(result(n)-func(n));
while(n>
1)
result(n-1)=(1-result(n))/n;
err(n-1)=abs(result(n-1)-func(n-1));
n=n-1;
递推值:
num2str(result)]);
误差:
num2str(err)]);
plot([1:
steps],result,'
-'
gridon
holdon;
steps],err,'
r--'
xlabel('
n'
ylabel('
En-andERRn--'
text(2,err
(2),'
\uparrowerr(n)'
text(4,result(4),'
\downarrowEn'
%------------------------------------------------------------------
functionen=func(n)
%计算En的精确值
if(n==1)
en=1/exp
(1);
else
en=1-n*func(n-1);
(二)实验结果分析
(1)分别用算法(E.1.7)、算法(E.1.8)计算得到的结果如图所示。
图算法(E.1.7)结果图算法(E.1.8)结果
两种算法的得到的结果数据如下:
●算法(E.1.7):
0.3678794410.632120559-0.2642411181.79272335-6.1708934131.8544671-190.1268021331.88762-10654.100995887.9084
00.3678794410.4715177651.621829946.3164263531.7276647190.2391861331.7866810654.192595887.8245
●算法(E.1.8):
0.367880.264240.207280.170890.145540.126790.11250.10.10
2.3114e-0084.6229e-0081.3869e-0075.5474e-0072.7737e-0061.6642e-0050.00011650.000931970.00838770.083877
显然可以看出,算法(E.1.8)可以给出精确的结果,算法(E.1.8)虽然迭代的第一次EN的误差可能比较大,但EN-1的误差就急剧缩小,后面的误差都很小;
而算法(E.1.7)的误差却是逐渐增大的,E10的误差居然达到了惊人的
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- 数值 实验