高中数学必修3第二章 21Word文件下载.docx
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思考 从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件,总体内的各个个体被抽到的机会相同吗?
为什么?
甲被抽到的机会是多少?
答案 总体内的各个个体被抽到的机会是相同的.因为是从9件产品中随机抽取一件,这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9,甲也是1/9.
梳理
(1)设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)简单随机抽样的四个特点
①它要求被抽取样本的总体的个数有限,这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.
②它是从总体中逐个抽取,这样便于在抽样实践中进行操作.
③它是一种不放回抽样,由于抽样实践中多采用不放回抽样,使其具有较广泛的实用性,而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体,便于进行有关的分析和计算.
④它是一种等机会抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽到的机会相等,而且在整个抽样的过程中,各个个体被抽取的机会也相等,从而保证了这种抽样方法的公平性.
知识点三 抽签法和随机数法
思考 采用抽签法抽取样本时,为什么将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀?
答案 为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性.
梳理
(1)抽签法:
把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.
(2)随机数法:
随机抽样中,另一个经常被采用的方法是随机数法,即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.
(3)利用随机数法抽取个体时的注意事项
①定起点:
事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.
②定方向:
读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以).
③读数规则:
读数时结合编号的特点进行读取,编号为两位数则两位两位地读取,编号为三位数则三位三位地读取,如果出现重复则跳过,直到取满所需的样本个体数.
知识点四 分层抽样
1.分层抽样的定义
当总体是由差异明显的几个部分组成时,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.
分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息,并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性,这对提高样本的代表性是非常重要的.
2.分层抽样的实施步骤
第一步,按某种特征将总体分成若干部分(层).
第二步,计算抽样比.抽样比=
.
第三步,各层抽取的个体数=各层总的个体数×
抽样比.
第四步,依各层抽取的个体数,按简单随机抽样从各层抽取样本.
第五步,综合每层抽样,组成样本.
知识点五 两种抽样方法的比较
简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示:
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等;
(2)每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
分层抽样
将总体分成几层,在各层中按同一抽样比抽取
在各层抽样时,采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
1.简单随机抽样也可以是有放回的抽样.( ×
)
2.简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等.( √ )
3.采用随机数表法抽取样本时,个体编号的位数必须相同.( √ )
4.分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样.( √ )
类型一 简单随机抽样的判断
例1 下列5个抽样中,简单随机抽样的个数是( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;
③一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签.
④箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里.
A.0B.1
C.2D.3
答案 B
解析 根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.④不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样.综上,只有③是简单随机抽样.
反思与感悟 简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的;
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的;
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样;
(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果四个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
跟踪训练1 在简单随机抽样中,某一个体被抽到的可能性( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能性不一定
解析 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.
类型二 简单随机抽样等可能性应用
例2 一个布袋中有10个同样质地的小球,从中不放回地依次抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是________,第三次抽取时,剩余每个小球被抽到的可能性是________.
答案
解析 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为
,所以第一个空填
.因为本题中的抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时,每个小球被抽到的可能性为
,第二次抽取时,剩余9个小球,每个小球被抽到的可能性为
,第三次抽取时,剩余8个小球,每个小球被抽到的可能性为
反思与感悟 简单随机抽样,每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同,在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等.
跟踪训练2 从总体容量为N的一批零件中,抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽到的可能性为0.25,则N的值为( )
A.120B.200
C.150D.100
答案 A
解析 因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时,在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为
,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为
,所以
=0.25,从而有N=120.故选A.
类型三 抽签法与随机数法及应用
命题角度1 抽签法
例3 某卫生单位为了支援抗震救灾,要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作,请用抽签法设计抽样方案.
解 方案如下:
第一步,将18名志愿者编号,号码为01,02,03,…,18.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步,从盒子中依次取出6个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员.
反思与感悟 一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是制签是否方便;
二是个体之间差异不明显.一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法.
跟踪训练3 某市环保局有各县报送的空气质量材料15份,为了了解全市的空气质量,要从中抽取一个容量为5的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作.
解 总体容量小,样本容量也小,可用抽签法.
步骤如下:
(1)将15份材料用随机方式编号,号码是1,2,3,…,15.
(2)将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上,揉成小球,制成号签.
(3)把号签放入一个不透明的容器中,充分搅拌均匀.
(4)从容器中逐个抽取5个号签,并记录上面的号码.
(5)找出和所抽号码对应的5份材料,组成样本.
命题角度2 随机数法
例4 假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,应如何操作?
解 第一步,将800袋牛奶编号为000,001,…,799.
第二步,在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7).
第三步,从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),将编号范围内的数取出,编号范围外的数去掉,直到取满60个号码为止,就得到一个容量为60的样本.
反思与感悟 抽签法和随机数法对个体的编号是不同的,抽签法可以利用个体已有的编号,如学生的学籍号、产品的记数编号等,也可以重新编号,例如总体个数为100,编号可以为1,2,3,…,100.随机数法对个体的编号要看总体的个数,总体数为100,通常为00,01,…,99.总体数大于100小于1000,从000开始编起,然后是001,002,….
跟踪训练4 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法:
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07
C.02D.01
答案 D
解析 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件的数字依次为02,14,07,01,故第5个数为01.故选D.
类型四 分层抽样及应用
命题角度1 分层抽样适用情形判定
例5 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=________.
答案 13
解析 ∵
=
,∴n=13.
反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似.在实际操作时,并不排斥与其他抽样方法联合使用.
跟踪训练5 某单位有员工500人,其中35岁以下的有125人,35岁~49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了调查员工的身体状况,要从中抽取一个容量为100的样本,如何进行抽取?
解 因为员工按年龄分为三个层,各层的身体状况有明显的差异,所以为了使样本具有代表性,需要采用分层抽样.抽样比为1∶5,即每5人中抽取一人.
35岁以下:
125×
=25(人),35岁~49岁:
280×
=56(人),50岁以上:
95×
=19(人).
命题角度2 分层抽样具体实施
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