线性代数学习报告docWord下载.docx

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它又与中学所学的代数有一定的联系，所以有些内容并不是完全陌生的。

　　我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论，并通过反复的应用（练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。

　　关键词：

数学线性代数背景应用计算方法感受

　　二、绪论

　　2.1线性代数的发展史

　　由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。

直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。

十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工（本文来自：

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线性代数学习报告）作而达到了它的顶点。

1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。

托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。

线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不

　　依赖于基的选择。

不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

　　“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。

　　2.2线性代数在数学中的地位

　　线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

①性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。

　　②计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

　　③线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

　　④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

　　2.3课程主要内容㈠行列式

　　①阶与三阶行列式的计算——对角线法则

　　?

x1?

2x2?

x3?

?

2,

2x1?

x2?

3x3?

1,例:

解线性方程组

x?

0.

　　123?

　　解：

由于方程组的系数行列式

　　1?

21

　　D?

21?

3?

1?

2?

11?

1

5?

0,

　　同理可得

211?

2?

　　D2?

10,D3D321,D1?

11x?

DD2?

5,?

1,?

2x?

1.1123D?

1D?

1101?

100

　　②全排列及其逆序数

　　例：

用两种方法求排列16352487的逆序数。

解：

方法116352487

　　t?

0?

8

　　方法2由前向后求每个数的逆序数。

　　t?

8.

　　③n阶行列式的定义：

n阶行列式（定义1）设有n^2个数，排成n行n列的表,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）t，的形式如下的项,其中为自然数1,2,...,n的一个排列,t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n!

个,这n!

项的代数和称为n阶行列式。

　　④对换的定义：

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

⑤行列式的性质及应用⑥克拉默法则的应用㈡矩阵

　　①矩阵及矩阵的运算

　　②逆矩阵的概念和性质及其求法③分块矩阵的运算法则④矩阵的初等变换及消元法⑤线性方程组的解

x4?

　　例求解齐次线性方程组?

2x3?

2x4?

4x?

3x?

　　234?

　　.

对系数矩阵A

1221?

r2?

2r1?

A?

6?

4?

r?

r31实施初等行变化?

　　010

220

　　?

012?

　　3?

0000?

　　r?

r2

　　2）

　　2r?

5x?

0,3?

13即得与原方程组同解的方程组?

4x4?

0,?

3?

5

　　x?

x4,3?

13由此即得?

4x4,（x,x可任意取值）.34?

　　x3?

c1,x4?

c2，把它写成通常的参数令形式?

2c2?

c2,?

?

24?

c1?

c2?

.x?

2c?

c,?

22233?

c2,

　　5?

　　⑥初等矩阵的概念及其应用㈢N维向量

　　①N维向量的概念及其表示方法②向量组线性相关性的概念及判定③向量组的秩与矩阵的关系④向量空间的概念及其基与维数⑤线性方程组的解的结构㈣相似矩阵与二次型

　　①矩阵的特征值与特征向量及其求法②相似矩阵及其性质

　　③矩阵对角化的充要条件及其方法④实对称矩阵的相似对角矩阵⑤二次型及其矩阵表示

　　⑥线性无关的向量组正交规范化的方法⑦正交变换与正交矩阵的概念及性质⑧用正交变换化二次型为标准形

　　⑨用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形

篇二：

线性代数报告

　　线性代数的应用研究

　　——矩阵在实际生活中的应用

　　建筑环境与能源应用工程1班

　　陈嘉威3013214105

　　杜澎磊3013214106

　　宋子旭3013214127

　　前言

　　近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域（包括力学、电子等学科以及土木、机电等工程技术）迅速扩展到非物理领域（人口、经济、金融、生物、医学等）。

数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。

这就要求我们如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法去解决。

　　线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科它对于培养学生严谨的逻辑推理和抽象思维能力起着不可或缺的作用。

线性代数研究最多的是矩阵。

矩阵是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。

也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得出想要的一些结论。

所以，矩阵是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。

因此，矩阵的应用日趋广泛，很多领域都要用到矩阵的知识。

　　本文将要探讨的，就是矩阵在实际生活中的一些应用形式。

经过分析和筛选，本文将从以下三个方面展开论述：

可逆矩阵在保密通信中的应用，矩阵与成本利润的计算以及矩阵与数字图像。

　　一、可逆矩阵在保密通信中的应用

　　随着计算机与网络技术的迅猛发展，通信技术中的保密工作显得尤为重要，怎样确保通信过程中信息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。

矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。

（一）可逆矩阵

　　1、矩阵

　　矩阵的定义：

m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×

n矩阵，矩阵用

　　a11a12…a1n

　　21a22…a2n这m×

n个数称为矩阵大写黑体字母A，B，C，?

表示。

如：

A=a…………am1am2…amn

　　A的元素，aij称为矩阵A的第i行第j列元素，一个m×

n矩阵A也可简记为A=（aij）m×

n或Am×

n。

　　矩阵加法：

设有两个m×

n矩阵A=（aij），B=（bij），矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=（aij+bij）m×

　　矩阵乘法：

设A=（aij）m×

n，B=（bij）m×

矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，规定为AB=（cij）m×

n其中cij=ai1b1j+ai2b2j+?

+aisbsj=sk=1aikbkj（i=1，2，?

，m；

j=1，2，?

，n）。

　　2、矩阵的逆

　　于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=1，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。

记作A，即A=B。

（二）保密通信

　　1、背景-1-1

　　自从人类有了文字书写之后，就考虑使用一些手段来保障通信的机密，防

　　止被获取甚至被篡改。

早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。

直到第二次世界大战，关于通信的加密、解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始，关于通信的加密解密开始成为一门专门的学科，包括数学家在内的许多科学家投身其中进行深入的研究。

　　20世纪末开始，计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安全，其加密解密的研究也迎来了巨大发展。

尤其是21世纪初，电子商务的广泛应用，以及智能手机的介入，对信息的传输过程中的安全性和可靠性提出了更高要求。

而保密通信作为实现信息安全的有效手段，在这其中起着举足轻重的作用。

在通信过程中，基本思路是通过对身份的验证、对传输信号的加密，来确保通信的保密。

因此保密通信主要涉及加密、解密的理论。

　　2、模型

　　保密通信过程中，存在明文和密文两个概念。

想要发送的信息称为明文，通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。

通信过程中，发送方会通过某种算法对明文数据进行加密，通过加密后转换成密文数据再