概率统计练习册习题解答.docx
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概率统计练习册习题解答
苏州科技学院
概率论与数理统计》
活页练习册习题解答
信息与计算科学系
概率论与数理统计教材编写组
2013年12月
习题1-1样本空间与随机事件
1•选择题
(1)设A,B,C为三个事件,则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为(D)
(A)ABUACUBC(B)AUBUC(C)ABCUABCUABC(D)AUBUC
(2)设三个元件的寿命分别为T,T2,T3,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件“系统的寿命超过t”可表示为(D)
AT-!
T2T3tBTT2£tCminT1,T2,T3tDmaxT-!
T2,T3t
2•用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A:
对目标进行射击,击中后便停止射
击,观察射击的次数;事件A表示“射击次数不超过5次”。
解:
=簽2,3,;A=12,3,4,5。
3•设某工人连续生产了4个零件,Ai表示他生产的第i个零件是正品(i1,2,3,4),试用Ai表示
F列各事件:
(1)只有一个是次品;
A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4
A1A2A3A4
(2)至多有三个不是次品;
习题1-2随机事件的概率及计算
1•填空题
(1)已知A
B,P(A)0.4,P(B)0.6,则
P(A)_,P(AB)
P(AB)0,P(AB)_o
(2)设事件A与B互不相容,P(A)0.4,P(B)0.3,则P(AB)=_,P(AUB)=
2•选择题
(1)如果
P(AB)0,则(C)
(A)
A与B互不相容
(B)
A与B互不相容
(C)
P(AB)P(A)
(D)
P(AB)P(A)P(B)
(2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是(C)
(A)P(AB)P(A)P(B)(B)P(AB)0且P(AB)1
(C)AB且AB(D)AB
3•一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率;
(3)5只中至多有一只坏的概率。
Pi
解:
(1)
c:
7c3c;7
c4o
P(B)
P(B)1P(B)
P:
124
41
96
41
96
P3
(3)
4.
(1)教室里有r个学生,求他们的生日都不相同的概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率
解:
(1)设A“他们的生日都不相同”,则P(A)365
365r
(2)设B“至少有两个人的生日在同一个月”,则
21222321
4121141241212
124
习题1-3条件概率
1•选择题:
(1)设A,B为两个相互对立事件,且P(A)0,P(B)0,则(C)
(A)P(BA)0(B)P(AB)P(A)(C)P(AB)0(D)P(AB)P(A)P(B)
(2)一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为P,第二道工序的废品率为q,则该
零件加工的成品率为(|C)
(A)1pq(B)1pq(C)1pqpq(D)(1p)(1q)
2•填空题:
(1)已知P(A)0.5,P(AB)0.6,若A、B互不相容,则P(B)0.1;若A、B相互
独立,则P(B)0.2.
(2)一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,该射手的命中率
2
—p-°
3_
3•为防止意外,在矿内同时安装了两种报警系统A与B,每种报警系统都使用时,对系统A其有效
的概率是,对系统B其有效的概率为,在A失效的条件下,B有效的概率为.求:
(1)发生意外时,这两种报警系统至少有一个有效的概率;
(2)B失灵的条件下,A有效的概率。
解:
设A“报警系统A有效”,B“报警系统B有效”
则
(1)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B|A)10.080.150.988
(2)因为:
P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.920.930.9880.862
P(AB)
P(AB)
P(B)
P(A)P(AB)
1P(B)
0.058
0.07
0.829
0.80.1
P(B°|A)
C9
C20
0.1C48
c2d
P(AB。
)
P(A)
0.94
;
0.8
0.94
0.85
4•玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为,,,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意地察看四只,若无残次品,则买下该箱,否则退回.试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买下的一箱中,确无残次品的概率解设A“顾客买下该箱”,B“箱中恰有i件残次品”,i0,1,2,
(1)
P(A)P(B°)P(A|B。
)P(B1)P(AB)P(B2)P(A|B2)
5.据数据显示,每1000名50岁的低风险男性中,有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌,那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%如果一名男性没有患有结肠癌,那么大便隐血检查
表明有隐血的可能性是3%如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血,那么他患有结肠癌的概率是多少?
解设A=“50岁男性患有结肠癌”,B=“大便隐血检查呈隐血”
0.50,P(BA)0.03
由题意,P(A)0.003,P(A)0.997,P(BA)
由贝叶斯公式(1.3.5),
P(AB)
P(AB)
P(B)
p(a)p(b|a)
p(A)P(b|a)p(A)P(bA)
0.0030.5
0.0030.50.9970.03
0.047755
习题2-1随机变量及其分布函数
1•判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.()
0,
x0,
R(x)sinx,
0x—
2
1,
X—.
2
0,x0,
F2(x)ln(1x)%0
1x,.
解:
F1(X)是;F2(X)不是,因为F2()01
习题2-2离散型随机变量
1.填空题
⑴设随机变量X的分布律为:
PXk—,k12,N,试确定a—1。
N
(2)一批产品共100个,其中有10个次品,从中放回取5次,每次取一个,以X表示任意取出的
产品中的次品数,则X的分布为JB(5,°.1)。
(3)某射手对一目标进行射击,直至击中为止,如果每次射击命中率都是p,以X
k1
表示射击的次数,则X的分布律为_P(Xk)(1p)p,k1,2,._。
2.将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中,每个盒子所放球的个数不限,以X表
示放球最多的盒子中球的个数,试求X的分布列及其分布函数F(x).
P(X
解:
34
2
P(X
3;
3)
c3c:
2
34
8
P(X
27;
c3
4)34
1
27.
0,
x2,
F(x)
2
8
26
3
27
27
2
8
1
—
—
3
27
27
2x3,
3x4,
1,x4.
3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布,试问
(1)在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少?
(2)在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少?
解:
设一周内发生交通事故的次数为X,则X~P°3。
032
PX2e0.30.0333
(1)2!
。
03°
P(X1)1P(X0)1e0.31e0.30.259
(2)0!
4•某人购买某种彩票,若已知中奖的概率为0.001,现购买2000张彩票,试求:
(1)此人中奖的
概率;
(2)至少有3张彩票中奖的概率(用泊松分布近似计算)。
解:
设中奖的彩票数为X,则X:
B(2000,0.001).
2000
(1)P(X1)1P(X0)1(0.999)0.8648
(2)由于20000.0012,故
P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)
F15e20.3233
2!
习题2-3连续型随机变量
1.设连续型随机变量X的密度函数为
f(x)
2
ax,
0x1,
2x,
0,
1x2,
其他•
13
试求:
(1)常数a的值;
(2)随机变量X的分布函数;(3)p(—X-)。
22
1
解:
(1)由于
12]2a13
f(x)dxaxdx(2x)dx-—a-
0132•故2
(2)当x0时,F(x)0;
F(x)x-t2dt」x3
当0x1时,022;
132x12
当1x2时,")02^&t)dt2x1x21;
当x2时,F(x)1
故,
0,
0,
13
2,
F(x)2
12-x2
1,
x1,
2x
1,1
x2.
x),x0
x0
⑶p(;X2)鳥血「(2x)dx16.
2.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)A(1e
0,
3)。
试求:
(1)系数A;
(2)X的密度函数;(3)P(1X
解:
(1)由F()1知,xlimF(x)xlimA(1e)A。
x
e
f(x)F(x)
⑵
⑶P(1X3)F(3)F
(1)1e31e1e1e3。
3.设K在(0,5)内服从均匀分布,求方程4x24KxK20有实根的概率
解:
所求的概率为:
P(16K216K20)PK2或K1
513
PK2PK1dx0.
255
4.某种型号的电子管寿命X(以小时计)具有以下概率密度
f(x)
1000
2~,
X
x1000
其他
现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?
解:
P(X1500)
1500
1000
x2
dx
从而所求概率为
C50
C5f
11
5.设连续型随机变量X~N(3,4),
(1)求P2X5,PX2;
(2)确定常数C使
5)
解:
(1)
2
(1)1
0.5
0.5328
(1)
(0.5)
0.51
2.50.6977
(2)由于PXc
PXc,从而,PX
。
所以,
习题2-4二维随机变量及其分布
1.一箱子装有100件产品,其中一、二、三等品分别为记
80件,10件,10件。
现从中随机抽取一件,
解:
1,若抽到一等品,
0,其他.
X2
1,若抽到二等品,
0,其他.
X1
1,
X2
1
0;
80
X;
1,
X2
0
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