版江苏高考数学复习讲义导数的概念及运算含答案Word下载.docx
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1.导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0、f(x0))处的切线斜率.相应地、切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ax
f′(x)=axlna(a>0)
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=lnx
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±
g(x)]′=f′(x)±
g′(x);
(2)[f(x)·
g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
4.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)、u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·
ux′、即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.奇函数的导数是偶函数、偶函数的导数是奇函数、周期函数的导数还是周期函数.
2.[af(x)±
bg(x)]′=af′(x)±
bg′(x).
3.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势、其正负号反映了变化的方向、其大小|f′(x)|反映了变化的快慢、|f′(x)|越大、曲线在这点处的切线越“陡”.
一、思考辨析(正确的打“√”、错误的打“×
”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.
( )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.
(4)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cosx.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
二、教材改编
1.函数y=xcosx-sinx的导数为( )
A.xsinx B.-xsinx
C.xcosxD.-xcosx
B [y′=x′cosx+x(cosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.]
2.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9B.-3
C.9D.15
C [因为y=x3+11、所以y′=3x2、所以y′|x=1=3、所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0、得y=9.故选C.]
3.函数y=f(x)的图象如图、则导函数f′(x)的大致图象为( )
A B C D
B [由导数的几何意义可知、f′(x)为常数、且f′(x)<0.]
4.在高台跳水运动中、ts时运动员相对于水面的高度(单位:
m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10、则运动员的速度v= m/s、加速度a= m/s2.
-9.8t+6.5 -9.8 [v=h′(t)=-9.8t+6.5、a=v′(t)=-9.8.]
考点1 导数的计算
(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商、再利用运算法则求导数.
(2)在求导过程中、要仔细分析函数解析式的结构特征、紧扣法则、记准公式、避免运算错误.
已知函数解析式求函数的导数
求下列各函数的导数:
(1)y=x
;
(2)y=tanx;
(3)y=2sin2
-1.
[解]
(1)先变形:
y=
x
、再求导:
y′=(
)′=
.
(2)先变形:
y′=
′=
=
(3)先变形:
y=-cosx、
再求导:
y′=-(cosx)′=-(-sinx)=sinx.
[逆向问题] 已知f(x)=x(2017+lnx)、若f′(x0)=2018、则x0= .
1 [因为f(x)=x(2017+lnx)、
所以f′(x)=2017+lnx+1=2018+lnx、
又f′(x0)=2018、
所以2018+lnx0=2018、所以x0=1.]
求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例
(1)(3).
抽象函数求导
已知f(x)=x2+2xf′
(1)、则f′(0)= .
-4 [∵f′(x)=2x+2f′
(1)、
∴f′
(1)=2+2f′
(1)、
∴f′
(1)=-2、
∴f′(0)=2f′
(1)=2×
(-2)=-4.]
赋值法是求解此类问题的关键、求解时先视f′
(1)为常数、然后借助导数运算法则计算f′(x)、最后分别令x=1、x=0代入f′(x)求解即可.
1.已知函数f(x)=exlnx、f′(x)为f(x)的导函数、则f′
(1)的值为 .
e [由题意得f′(x)=exlnx+ex·
、则f′
(1)=e.]
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)、且满足关系式f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx、则f′
(2)= .
-
[因为f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx、所以f′(x)=2x+3f′
(2)+
、所以f′
(2)=4+3f′
(2)+
=3f′
(2)+
、所以f′
(2)=-
.]
3.求下列函数的导数
(1)y=3xex-2x+e;
(2)y=
(3)y=ln
[解]
(1)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xexln3+3xex-2xln2
=(ln3+1)·
(3e)x-2xln2.
(2)y′=
(3)y′=
′=[ln(2x-1)-ln(2x+1)]′
=[ln(2x-1)]′-[ln(2x+1)]′
·
(2x-1)′-
(2x+1)′
考点2 导数的几何意义
导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0、f(x0))求斜率k、即求该点处的导数值:
k=f′(x0).
(2)若求过点P(x0、y0)的切线方程、可设切点为(x1、y1)、由
求解即可.
(3)处理与切线有关的参数问题、通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:
①切点处的导数是切线的斜率;
②切点在切线上;
③切点在曲线上.
求切线方程
(1)(20xx·
全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
(2)已知函数f(x)=xlnx、若直线l过点(0、-1)、并且与曲线y=f(x)相切、则直线l的方程为 .
(1)3x-y=0
(2)x-y-1=0 [
(1)∵y′=3(x2+3x+1)ex、∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y′|x=0=3、∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
(2)∵点(0、-1)不在曲线f(x)=xlnx上、
∴设切点为(x0、y0).又∵f′(x)=1+lnx、
∴直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.
∴由
解得x0=1、y0=0.
∴直线l的方程为y=x-1、即x-y-1=0.]
(1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标、在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;
(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例
(1)是“在点(0,0)”、本例
(2)是“过点(0、-1)”、要注意二者的区别.
求切点坐标
(20xx·
江苏高考)在平面直角坐标系xOy中、点A在曲线y=lnx上、且该曲线在点A处的切线经过点(-e、-1)(e为自然对数的底数)、则点A的坐标是
(e,1) [设A(x0、y0)、由y′=
、得k=
、
所以在点A处的切线方程为y-lnx0=
(x-x0).
因为切线经过点(-e、-1)、
所以-1-lnx0=
(-e-x0).所以lnx0=
令g(x)=lnx-
(x>0)、
则g′(x)=
+
、则g′(x)>0、
∴g(x)在(0、+∞)上为增函数.
又g(e)=0、∴lnx=
有唯一解x=e.
∴x0=e.∴点A的坐标为(e,1).]
f′(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标、抓住切点既在曲线上也在切线上、是求解此类问题的关键.
求参数的值
全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xlnx在点(1、ae)处的切线方程为y=2x+b、则( )
A.a=e、b=-1 B.a=e、b=1
C.a=e-1、b=1D.a=e-1、b=-1
(2)已知f(x)=lnx、g(x)=
x2+mx+
(m<0)、直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切、与f(x)图象的切点为(1、f
(1))、则m= .
(1)D
(2)-2 [
(1)∵y′=aex+lnx+1、∴y′|x=1=ae+1、
∴2=ae+1、∴a=e-1.∴切点为(1,1)、
将(1,1)代入y=2x+b、得1=2+b、
∴b=-1、故选D.
(2)∵f′(x)=
、∴直线l的斜率k=f′
(1)=1.
又f
(1)=0、∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m、
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0、y0)、
则有x0+m=1、y0=x0-1、y0=
+mx0+
、m<0、
∴m=-2.]
已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程、同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.
导数与函数图象
(1)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一、且其导函数y=f′(x)的图象如图所示、则该函数的图象是( )
A B
C D
(2)已知y=f(x)是可导函数、如图、直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线、令g(x)=xf(x)、g′(x)是g(x)的导函数、则g′(3)= .
(1)B
(2)0 [
(1)由y=f′(x)的图象是先上升后下降可知、函数y=f(x)图象的切线的斜率先增大后减小、故选B.
(2)由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-
、∴f′(3)=-
∵g(x)=xf(x)、∴g′(x)=f(x)+xf′(x)
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