数学建模曲线拟合Word下载.docx
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0.5
1.0
1.5
1.9
2.5
3.0
3.5
$
4.0
4.5
0.9
0.7
2.0
:
2.4
3.2
2.7
5.0
5.5
`
6.0
6.6
7.0
7.6
8.5
9.0
10.0
5.7
4.6
\
6.8
12.3
(1)求拟合以上数据的直线
。
目标为使
的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
(2)求拟合以上数据的直线
,目标为使
的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。
(3)求拟合以上数据的直线,目标为使
的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。
(4)求拟合以上数据的曲线
,实现
(1)
(2)(3)三种目标。
}
(5)试一试其它的曲线,可否找出最好的?
2、问题的分析
对于问题一,利用MATLAB中的最小二乘法对数据进行拟合得到直线,目标为使各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
对于问题二、三、四均利用MATLAB中的fminsearch函数,在题目要求的约束条件下找到最佳答案。
对于问题五,改变多项式最高次次数,拟合后计算残差,和二次多项式比较,再增加次数后拟合,和原多项式比较残差,进而找到最好的曲线。
~
3、基本假设
1.表中数据真实可信,每个点都具有意义。
4、模型的建立与求解
1.问题一
:
对给定数据点
,在取定的函数类
中,求
,使误差的平方和
最小,
从几何意义上讲,就是寻求与给定点
的距离平方和为最小的曲线
函数
称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数
的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
直接利用MATLAB中
的函数进行曲线拟合,得到目标函数如下:
函数图像如下:
2.问题二
利用MATLAB中的
函数,在题目要求的约束条件使
的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小下进行曲线拟合,得到目标函数如下:
%
3.问题三
利用MATLAB中的
的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小下进行曲线拟合,得到目标函数如下:
4.问题四
(1)问题一
同问题一相似,只是拟合的曲线为二阶多项式,利用MATLAB中
…
(2)问题二
同问题二相似,只是拟合的曲线为二阶多项式,利用MATLAB中的
》
(2)问题三
同问题三求解过程相似,只是拟合的曲线为二阶多项式,利用MATLAB中的
的各个观察值同按直线关系所预期
的值的最大偏差为最小下进行曲线拟合,得到目标函数如下:
*
5.问题五
选择更高阶多项式进行曲线拟合,利用MATLAB中
的函数进行曲线拟合,得到目标函数。
比较方差,方差越小,得到结果越稳定,即认为曲线拟合越好,方差结果如下表所示:
阶数
1
2
3
;
4
5
方差
2.6884
2.0577
1.7127
1.5049
1.4336
【
可以得到函数阶数越高,曲线拟合越好。
各阶多项式函数图像如下:
三阶:
四阶:
!
五阶:
5、模型的评价
对于问题五中的模型,由于我们只选择了最高为五阶的高阶多项式多项式进行曲线拟合,还需要选择更多的函数进行拟合,并进行检验,找到最好的曲线。
6、;
7、附录
%1
fun1=@(a,x)a
(1).*x+a
(2);
a=lsqcurvefit(fun1,[0,0],x,y)
xi=0:
0.1:
10;
yi=a
(1).*xi+a
(2);
plot(x,y,'
*'
xi,yi)
(
a=
0.8117-0.0264
%2
/
symspqf
a0=a;
[a,fval]=fminsearch('
fun2'
a0)
yi=a
(2)+a
(1).*xi;
%fuction2
functionf=fun2(a)
—
x=[0;
0.500000000000000;
1;
1.50000000000000;
1.90000000000000;
2.50000000000000;
3;
3.50000000000000;
4;
4.50000000000000;
0;
5;
5.50000000000000;
6;
6.60000000000000;
7;
7.60000000000000;
8.50000000000000;
9;
];
y=[1;
0.900000000000000;
0.700000000000000;
2;
2.40000000000000;
3.20000000000000;
2.70000000000000;
5.70000000000000;
4.60000000000000;
6.80000000000000;
12.3000000000000;
f=sum(abs(a
(1).*x+a
(2)-y));
0.66660.5001
fval=
19.4000
%3
fun3'
%function3
functionf=fun3(a)
f=max(abs(a
(1)*x+a
(2)-y));
1.1300-1.8790
2.8790
%4-1
fun4_1=@(a,x)a
(1).*x.^2+a
(2).*x+a(3);
-
a=lsqcurvefit(fun4_1,[0,0,0],x,y);
yi=a
(1).*xi.^2+a
(2).*xi+a(3);
0.0953-0.10961.3833
.
%4-2
fun4_2'
&
0.03970.29020.9755
0.0264-0.29711.40020.3003
%4-3
fun4_3'
0.0994-0.09091.7672
2.7986
%5
fun4_1=@(a,x)a
(1).*x.^3+a
(2).*x.^2+a(3).*x+a(4);
a=lsqcurvefit(fun4_1,[0,0,0,0],x,y)
yi=a
(1).*xi.^3+a
(2).*xi.^2+a(3).*xi+a(4);
0.0264-0.29711.40020.3003
%squ
xi=x
yi=a
(1).*xi.^3+a
(2).*xi.^2+a(3).*xi+a(4)
squ=sum((yi-y).^2)/19
squ=
1.6226
二次:
1.9494
四次:
1.4257
五次:
1.3581
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- 数学 建模 曲线拟合