学而思讲义四年级第三讲(游戏与对策)资料下载.pdf
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如上图,要必胜,也就是要让自己拿到10号火柴,那就应给对方留下8,9,10三根火柴供他取,这样对方不管取一根还是两根,自己都能拿到最后的10号火柴。
照这样分析,自己应该拿到7号火柴(这样就是给对方留下了8,9,10号三根)就必胜。
同理分析,要想取7号,就应该取4号,要想取4号,就应该取1号。
那么,本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴,对于足够聪明的人来说,拿到第一个制胜点1号火柴,一定能拿到其余的制胜点。
所以本题要必胜,就要抢先取1根,然后对方取a根,自己就取3-a根,这样保证自己能取到每一个制胜点,最终取到10号火柴。
总结一下,同学们应该能看出,这里面有周期现象(只是周期是从后往前排布的),周期是几呢?
是可取的最大限度2再加1等于3,制胜点是哪些呢?
是每个周期的最后一根。
掌握此规律,就不难总结出这类题的解题方法了:
解题方法:
(1)找周期:
周期等于可拿最大限度+1
(2)总数周期例1桌子上放着60根火柴,聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走13根,规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
解析:
周期为3+1=4(根)604=15(组)(整除,应该抢后抢后)制胜点:
44,8,1260做法:
1、让对方先取2、对方取a根,自己就取4-a根例2有一种抢数游戏,是两个人从自然数1开始轮流报数,规定每次至少报几个数与至多报几个数(都是自然数),最后谁报到规定的“某个数字”为胜。
如“抢50”,规定每次必须报1或2个例2有一种抢数游戏,是两个人从自然数1开始轮流报数,规定每次至少报几个数与至多报几个数(都是自然数),最后谁报到规定的“某个数字”为胜。
如“抢50”,规定每次必须报1或2个12345678910有余数:
有余数:
抢先抢先拿余数整除(余数为0):
拿余数整除(余数为0):
抢后抢后四年级2010秋季第三讲游戏与对策程雪四年级秋季班(七级下)四年级秋季班(七级下)3.2自然数,从1开始,谁抢报到50为胜。
请问你有必胜的策略吗?
自然数,从1开始,谁抢报到50为胜。
本题与上面的取火柴棍没有本质区别,把报数当成是取火柴,报一个数就是取一根火柴。
周期为2+1=3503=162(余2,应该抢先报到2抢先报到2)制胜点:
22,5,8,1150做法:
1、自己先报2个数“1,2”2、对方报a个数,自己就接着报3-a个数题型拓展:
抢到最后者为输如例2,若改为谁抢报到50谁输,怎么做呢?
题型拓展:
仍用倒推法分析,要保证自己胜,就要让对方报50,那么自己应该报49。
也就是抢报到49就获胜。
这样不就和之前的题型一样了吗?
周期为2+1=349493=161(余1,应该抢先报到1抢先报到1)制胜点:
11,4,7,1049做法:
1、自己先报1个数“1”2、对方报a个数,自己就接着报3-a个数
(二)棋盘抢旗例3把一棋子放在如图左下角格内,双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移),一次可向一个方向移动任意多格,规定不能将棋子直接从左下角移到顶格,谁把棋子走进顶格夺取红旗,谁就获胜。
应如何取胜?
(二)棋盘抢旗例3把一棋子放在如图左下角格内,双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移),一次可向一个方向移动任意多格,规定不能将棋子直接从左下角移到顶格,谁把棋子走进顶格夺取红旗,谁就获胜。
用倒推法分析,自己要抢占红旗格,应该把对方逼到带黑点的三个格子中,那么自己应该要抢到A(如果自己抢到A,对方只能走进其中一个黑格子中)。
同理,要抢到A,就要抢到B,以此类推,标出制胜点如右上图。
如果能抢占到任一个制胜点,就能最终获胜。
起点在左下方格子,先走者能够一步走到E,所以要必胜,应该抢先走到E,然后无论对方怎么走,自己都能再走到另一个制胜点,最终抢到红旗。
例4在99棋盘的右上角放有一枚棋子,每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格,二人交替走,谁先到达左下角,谁为胜者。
你有必胜策略吗?
同上题类似,采用倒推法,要到达终点应把对方逼到终点的上、右、右上一格的位置,那么对应能得到第一圈制胜点(图中红点部分),再把每一个制胜点当做红旗,用同样方法能找到下一ABCDE四年级2010秋季第三讲游戏与对策程雪四年级秋季班(七级下)四年级秋季班(七级下)3.3圈制胜点,以此类推,找到本题所有的制胜点如下图。
从起点出发,能一步走到制胜点A。
所以,要必胜,就要抢先走到A,然后对方走一步,自己都设法走到另一个制胜点,最终一定能到达终点。
(三)对称型规定:
谁“无”路可走即为输办法:
1、局面非对称抢先,将局面变为对称局面2、局面已对称抢后,跟随对方例5神奇涛和帅气铮两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分,放好的硬币不再移动。
谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了。
神奇涛放第一枚,总是百战百胜,你知道他的策略吗?
圆是中心对称图形。
神奇涛将第一枚硬币放在了中心的位置上。
之后帅气铮不论把硬币摆在什么地方,神奇涛接着就选择帅气铮摆的这枚硬币关于桌面中心对称的位置,摆上同样一枚硬币,由对称性,只要帅气铮能在桌面上找到可以摆硬币的地方,那么与这个地方中心对称的地方也一定是空着的,神奇涛就可以在此摆硬币。
“帅气铮能摆,神奇涛就能摆”,最终,肯定是帅气铮先找不到放硬币的地方,神奇涛就获胜了。
例6有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根,聪明昊和智慧威两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取,规定取得最后一根者为赢。
请问先取有必胜的策略吗?
本题虽然也是取火柴问题,但火柴根数多于一堆,且每次取的根数不限,所以策略与例1完全不同。
转换一下思路,取最后一根赢,意味着让对方无“火柴”可取即为胜,那么联想到对称型策略。
抢先从35根中取11根,剩下的即是一个对称的局面。
这时对方在某一堆中取几根,自己就在另一堆中取同样多根。
那么对方有火柴可取,自己也一定有火柴可取,最终一定是自己取到最后一根。
思考思考:
如果两堆火柴都是35根呢?
先取获胜还是后取获胜?
拓展拓展有3堆火柴,分别有1根、2根、3根火柴,甲先乙后轮流从任意一堆中取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。
如果双方都足够聪明,那么谁将获胜?
参照上题,当是非对称局面时,抢先若能变为对称局面,就能获胜。
本题显然不是对称局面,但先拿者无论怎样拿都不能变为一个对称局面,而后拿者在先拿者取后都有办法将局面变为对称的,所以后拿者(乙)能获胜。
详细拿法:
甲先拿,有六种拿法1、从第1堆拿1根,则乙从第3堆拿1根2、从第2堆拿1根,则乙从第3堆拿3根A四年级2010秋季第三讲游戏与对策程雪四年级秋季班(七级下)四年级秋季班(七级下)3.43、从第2堆拿2根,则乙从第3堆拿2根4、从第3堆拿1根,则乙从第1堆拿1根5、从第3堆拿2根,则乙从第2堆拿2根6、从第3堆拿3根,则乙从第2堆拿1根(四)其它(尖子)学案4桌子上有8颗瓜子,甲、乙两人轮流拿瓜子,规定,假如甲先拿(当然,乙也可以先拿),甲可拿任意颗瓜子,但不能拿光,接着乙拿,乙可以拿不多于甲所拿瓜子的2倍,又轮到甲拿,甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍,这样交替进行,谁拿到最后一颗瓜子就算胜利。
问先拿获胜还是后拿获胜?
解析(四)其它(尖子)学案4桌子上有8颗瓜子,甲、乙两人轮流拿瓜子,规定,假如甲先拿(当然,乙也可以先拿),甲可拿任意颗瓜子,但不能拿光,接着乙拿,乙可以拿不多于甲所拿瓜子的2倍,又轮到甲拿,甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍,这样交替进行,谁拿到最后一颗瓜子就算胜利。
本题因为拿法限制少,不能用前几种题型方法,我们不妨一一枚举试试。
因为后者可以拿不多于前者的两倍,所以显然甲不能先拿3颗或以上,这样乙就可以把剩下的一起拿走。
所以甲只有2种选择:
甲取乙取甲取乙取选择一1颗2颗还余5颗1颗1颗还余3颗,乙胜2颗3颗,乙胜选择二2颗1颗还余5颗同上,还是乙胜先拿者甲无论哪种选择都会输。
进而我们发现,当只剩下3颗瓜子时,先拿者甲输,当只剩下5颗瓜子时,先拿者甲也输,题中有8颗瓜子时,先拿者还是输。
其实这个游戏与兔子数列(斐波那契数列)有关。
若瓜子总数是该数列中的某一项(1除外),先拿者输,若总数不是该数列的某一项,先拿者胜。
制胜点:
在保证对方不能一次拿完的情况下,给对方留下兔子数列中的一项。
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- 关 键 词:
- 讲义 四年级 第三 游戏 对策