热传导方程_精品文档资料下载.pdf

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该不等式在几何分析中具有重要作用。

第六节讨论了当时间t趋于无穷时热传导方程初边值问题及Cauchy问题解的渐近性态。

本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形，可以进行类似的讨论，有兴趣的读者可以参看F.John编著的PartialDifferentialEquations,Springer-Verlag,1982.1.热传导方程的导出及其定解条件本节我们将考察热传导方程的导出及其相应的定解条件。

1.1方程的导出一、热传导方程考察空间某介质D的热传导问题。

以函数u（t,x,y,z）表示介质D在位置（x,y,z）及时刻t的温度。

依据传热学中的Fourier实验定律，介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与介质温度沿曲面dS法线方向的方向导数un成正比，即dQ=k（x,y,z）undSdt,（1.1）其中k（x,y,z）称为介质在点（x,y,z）处的热传导系数，它取正值。

（1.1）式中的负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此，dQ应和un异号。

1在介质D内任取一闭曲面S，它所包围的区域记为，由（1.1）式，从时刻t1到t2流进此曲面的全部热量为Q=Zt2t1ZZSk（x,y,z）undS?

dt,（1.2）其中un表示u沿S上单位外法线方向n的方向导数。

流入的热量使介质内部温度发生变化，在时间间隔（t1,t2）中介质温度从u（t1,x,y,z）变化到u（t2,x,y,z），它所应该吸收的热量是ZZZ（x,y,z）（x,y,z）u（t2,x,y,z）u（t1,x,y,z）dxdydz,其中为介质的比热，为密度。

因此就成立Zt2t1ZZSkundSdt=ZZZu（t2,x,y,z）u（t1,x,y,z）dxdydz.（1.3）假设函数u关于变量x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，利用Green公式，可以把（1.3）式写成Zt2t1ZZZx?

kux+y?

kuy+z?

kuzdxdydzdt=ZZZ?

Zt2t1utdtdxdydz,交换积分顺序得到Zt2t1ZZZutx?

kuxy?

kuyz?

kuzdxdydzdt=0.（1.4）由于t1，t2与区域都是任意的，于是ut=x?

kuz.（1.5）（1.5）式称为非均匀的各向同性介质的:

热:

传:

导:

方:

程。

如果介质是均匀的，此时k，及均为常数，记k/=c2，即得ut=c2?

2ux2+2uy2+2uz2.（1.6）如果所考察的介质内部有热源（例如介质中通有电流，或有化学反应等），则在热传导方程（1.5）的推导中还需要考虑热源的影响。

若设在单位时间内单位体积中所产生的2热量为F（t,x,y,z），则此时热平衡方程为Zt2t1ZZSkundSdt+Zt2t1ZZZF（t,x,y,z）dxdydzdt=ZZZu（t2,x,y,z）u（t1,x,y,z）dxdydz.于是，相应于（1.5）的热传导方程应改为ut=x?

kuz+F（t,x,y,z）.（1.7）相应地，此时方程（1.6）为ut=c2?

2ux2+2uy2+2uz2+f（t,x,y,z）,（1.8）其中f（t,x,y,z）=F（t,x,y,z）.（1.9）（1.6）称为:

齐:

次:

程，而（1.8）称为:

非:

二、扩散方程在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。

例如气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等。

下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方程。

由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。

只要将扩散过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写出。

在推导热传导方程的过程中起基本作用的是Fourier定律与热量守恒定律，即方程（1.1）与方程（1.3）式。

在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒定律，即dm=（x,y,z）UndSdt,（1.10）Zt2t1ZZSUndSdt=ZZZU（t2,x,y,z）U（t1,x,y,z）dxdydz,（1.11）其中U表示扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面积dS的扩散物质的质量，式中（x,y,z）为:

扩:

散:

系:

数，其它符号与（1.1）、（1.3）中的含义相同。

3将（1.10）、（1.11）与（1.1）、（1.3）比较，发现其形式是非常类似的。

在考察热传导方程中引入的量Q、u、k分别相应于扩散过程中的量m、U、，而出现在（1.3）式中的因子在扩散问题中相应于常数1。

于是，扩散方程可写为Ut=x?

Ux+y?

Uy+z?

Uz.（1.12）如果是常数，记=c2，则扩散方程（1.12）就化为与热传导方程（1.6）完全相同的形式。

1.2定解条件从热力学角度来看，如果知道了所考察介质在边界上的温度状况（或热量交换状况）和介质在初始时刻的温度，就可以确定介质在以后各时刻的温度。

这样热传导方程最自然同时也最基本的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的解。

自然地，初始条件的提法为u（0,x,y,z）=（x,y,z）,（1.13）其中（x,y,z）为已知函数，表示介质在t=0时刻的温度分布。

下面我们考察边界条件的提法。

类似于第三章第三节，我们分三种情况进行讨论：

第一类边界条件最简单的情形为介质的表面的温度是已知的，这种条件的数学表达式为u（t,x,y,z）|（x,y,z）S=g（t,x,y,z）,（1.14）其中S表示介质的边界，g（t,x,y,z）是定义在0,TS上的已知函数，这里T是一给定的正数。

这种边界条件称为热传导方程的:

第:

一:

类:

边:

界:

条:

件，又称:

Dirichlet边:

件。

第二类边界条件我们再考察另一种情况：

在介质的表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过的热量Q是已知的。

根据Fourier定律dQ=kundSdt可知，这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的，即unflflflfl（x,y,z）S=g（t,x,y,z）,（1.15）4其中un表示u沿边界S上的单位外法线方向n的方向导数，而g（t,x,y,z）是定义在0,TS上的已知函数。

二:

Neumann边:

第三类边界条件考察介质放在另一种介质，不妨称为介质1中的情形：

我们能测量到的只是与所考察介质接触处的介质1的温度u1，它与所考察介质表面上的温度u往往并不相同。

在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律，即牛顿定律：

从所考察介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比，即dQ=（uu1）dSdt,（1.16）这里的比例常数称为:

交:

换:

数，它取正值。

考察流过所考察介质表面S的热量，从所考察介质内部来看它应由Fourier定律确定，而从介质1方面来看则应由牛顿定律所决定，因此有kundSdt=（uu1）dSdt,即u+kun=u1.由于和k都是正数，因此这种边界条件可以写成?

un+uflflflfl（x,y,z）S=g（t,x,y,z）,（1.17）这里un表示u沿边界S上的单位外法线方向n的方向导数，而g（t,x,y,z）是定义在0,TS上的已知函数，为已知正数。

三:

和波动方程相比，这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来，但是数学上的形式却完全一样。

如果所考察的介质体积很大，而所需知道的只是在较短时间和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时可以把所考察的介质视为充满整个空间，而定解问题就变成:

Cauchy问:

题，此时的初始条件为u（0,x,y,z）=（x,y,z）（x,y,z）.（1.18）在此我们特别指出：

与波动方程的情形不同，对于热传导方程的定解问题，初始条件只能给出一个。

5在适当的情况下，热传导方程中描述空间坐标的变量的数目还可以减少。

例如当物体是均匀细杆时，假设它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假设温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x和时间t有关，我们就得到:

维:

程ut=c22ux2.（1.19）同样，如考察薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得:

程ut=c2?

2ux2+2uy2.（1.20）对低维的热传导方程，我们可以类似地提出上述的Cauchy问题与初边值问题。

对扩散方程，我们有类似的讨论。

这里不再重复。

习题1.一均匀细杆直径为L，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从规律dQ=（uu1）dSdt.又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。

2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

3.混凝土内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。

以Q（t）表示它在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热量，则dQdt=Q，其中为正常数。

又假设混凝土的比热为，密度为，热传导系数为k，求它在浇筑后温度u满足的方程。

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