三角恒等变换Word文档格式.doc
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[解]
(1)原式=-sin10°
(-)
=-sin10°
·
=-2cos10°
==
===.
)=sin50°
(1+tan60°
tan10°
)
=sin50°
==1.
[方法技巧]
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是两种变换:
一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;
二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.
突破点
(二) 三角函数的条件求值
给值求值问题
[例1] (2017·
合肥模拟)已知cos·
cos=-,α∈.
(1)求sin2α的值;
(2)求tanα-的值.
[解]
(1)∵cos·
cos=cos·
sin=sin=-,
∴sin=-.∵α∈,∴2α+∈,∴cos=-,
∴sin2α=sin=sincos-cossin=.
(2)∵α∈,∴2α∈,又由
(1)知sin2α=,∴cos2α=-.
∴tanα-=-===-2×
=2.
给值求值问题的求解思路
(1)先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
给值求角问题
[例2]
(1)设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为( )
A.B.C.D.或
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为________.
[解析]
(1)∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,∴cosα=,sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>
0.又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=.
(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]===>
0,∴0<
α<
.又∵tan2α===>
2α<
,∴tan(2α-β)===1.∵tanβ=-<
0,∴<
β<
π,∴-π<
2α-β<
0,∴2α-β=-.
给值求角时选取函数的原则和解题步骤
(1)通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;
若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;
若角的范围为,选正弦函数较好.
(2)解给值求角问题的一般步骤:
①求角的某一个三角函数值;
②确定角的范围;
③根据角的范围写出所求的角的大小.
突破点(三) 三角恒等变换的综合问题
利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现,考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
[典例1] 已知向量m=(sinx,1),n=(Acosx,cos2x)(A>
0),函数f(x)=m·
n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
[解]
(1)f(x)=m·
n=Asinxcosx+cos2x=A=Asin.因为A>
0,A=6.
(2)由
(1)知f(x)=6sin.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin=6sin的图象;
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图象.因此g(x)=6sin.因为x∈,所以4x+∈,故g(x)的值域为[-3,6].
[典例2]已知函数f(x)=2cos2ωx-1+2sinωxcosωx(0<
ω<
1),直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g=,α∈,求sinα的值.
解:
(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx=2sin,由于直线x=是函数f(x)=2sin的图象的一条对称轴,所以sin=±
1,因此ω+=kπ+(k∈Z),解得ω=k+(k∈Z),又0<
1,所以ω=,所以f(x)=2sin.由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
(2)由题意可得g(x)=2sin,即g(x)=2cos,由g=2cos=2cos=,得cos=,又α∈,故<
α+<
,所以sin=,
所以sinα=sin=sin·
cos-cos·
sin=×
-×
=.
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题:
先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+t或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+t的形式,再进行图象变换.
(2)函数性质问题:
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤:
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式;
②利用公式T=(ω>
0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的单调区间.
[全国卷5年真题集中演练明规律]
1.(2016·
全国甲卷)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为( )A.4 B.5C.6 D.7
解析:
选B ∵f(x)=cos2x+6cos=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-22+,
又sinx∈[-1,1],∴当sinx=1时,f(x)取得最大值5.故选B.
2.(2015·
新课标全国卷Ⅰ)sin20°
cos10°
-cos160°
sin10°
=( )A.-B.C.-D.
选D sin20°
=sin20°
+cos20°
=sin(20°
+10°
)=sin30°
=,故选D.
3.(2014·
新课标全国卷Ⅰ)设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β= B.2α-β=C.3α+β= D.2α+β=
选B 由条件得=,即sinαcosβ=cosα(1+sinβ),sin(α-β)=cosα=sin,
因为-<
α-β<
,0<
-α<
,所以α-β=-α,所以2α-β=.
4.(2013·
新课标全国卷Ⅱ)已知sin2α=,则cos2=( )A.B.C.D.
选A cos2==(1-sin2α)=.
5.(2013·
新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=________.
将tan=利用两角和的正切公式展开,则=,求得tanθ=-.又因为θ在第二象限,则sinθ=,cosθ=-,从而sinθ+cosθ=-=-.答案:
-
[检验高考能力]
一、选择题
1.已知sin2α=,则cos2=( )A.- B.C.- D.
选D 依题意得cos2=cosαcos+sinαsin2=(cosα+sinα)2=(1+sin2α)=.
2.已知cos=-,则cosx+cos=( )A.- B.±
C.-1D.±
1
选C ∵cos=-,∴cosx+cosx-=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx==cos=×
=-1.
3.若tanα=2tan,则=( )A.1B.2C.3 D.4
选C ====
===3,故选C.
4.已知sin=,cos2α=,则sinα=( )A. B.-C. D.-
选C 由sin=得sinα-cosα=, ①
由cos2α=得cos2α-sin2α=,所以(cosα-sinα)·
(cosα+sinα)=, ②
由①②可得cosα+sinα=-, ③由①③可得sinα=.
5.在斜三角形ABC中,sinA=-cosB·
cosC,且tanB·
tanC=1-,则角A的值为( )
A.B.C.D.
选A 由题意知,sinA=-cosB·
cosC=sin(B+C)=sinB·
cosC+cosB·
sinC,
在等式-cosB·
cosC=sinB·
sinC两边同除以cosB·
cosC得tanB+tanC=-,
又tanB·
tanC=1-,
所以tan(B+C)==-1.由已知,有tanA=-tan(B+C),则tanA=1,所以A=.
6.已知锐角α,β满足sinα-cosα=,tanα+tanβ+·
tanαtanβ=,则α,β的大小关系是( )
A.α<
<
βB.β<
αC.<
β D.<
α
选B ∵α为锐角,sinα-cosα=,∴α>
.又tanα+tanβ+tanαtanβ=,
∴tan(α+β)==,∴α+β=,又α>
,∴β<
α.
二、填空题
7.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.
∵f(x)=sin2x-cos2x-(1-cos2x)=sin2x+cos2x-=sin-,∴f(x)的最小正周期T==π.答案:
π
8.已知cos4α-sin4α=,且α∈,则cos=________.
∵α∈,cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos2α=>
0,∴2α∈,∴sin2α==,∴cos=cos2α-sin2α=×
=.答案:
9.已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β=________.
由题意得tanα+tanβ=-3<
0,tanα·
tanβ=4>
0,∴tan(α+β)==,且tanα<
0,tanβ<
0,又α,β∈,故α,β∈,∴α+β∈(-π,0),∴α+β=-.答案:
10.若0<
,-<
0,cos=,cos=,则cos=________.
∵0<
+α<
,<
-<
,∴sin==,sin==,∴cos=cos+α--=coscos+sin+αsin=.答案:
三、解答题
11.已知函数
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