学年人教版高中数学选修22同步单元检测试题AB卷解析版共8份Word格式文档下载.docx
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选C 由导数公式知选项A中(sina)′=0;
选项B中(cosx)′=-sinx;
选项D中(x-5)′=-5x-6.
2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sinx B.y=xe2
C.y=x3-xD.y=lnx-x
选B 只有B中y′=e2>0在(0,+∞)内恒成立.
3.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为( )
A.x+4y+3=0B.x+4y-9=0
C.4x-y+3=0D.4x-y-2=0
选D 设切点坐标为(x0,y0),y′=4x,由题意得4x0=4,解得x0=1,所以y0=2,故切线l的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
4.若函数f(x)=x3-f′
(1)·
x2-x,则f′
(1)的值为( )
A.0 B.2
C.1D.-1
选A ∵f(x)=x3-f′
(1)·
x2-x,
∴f′(x)=x2-2f′
(1)·
x-1,
∴f′
(1)=1-2f′
(1)-1,
∴f′
(1)=0.
5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21B.a=0或a=7
C.a<
0或a>
21D.a=0或a=21
选A f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.
6.已知,对于任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>
0时,f′(x)>
0,g′(x)>
0,则x<
0时,( )
A.f′(x)>
B.f′(x)>
0,g′(x)<
C.f′(x)<
D.f′(x)<
选B f(x)为奇函数且x>
0时单调递增,所以x<
0时单调递增,f′(x)>
0;
g(x)为偶函数且x>
0时单调递减,g′(x)<
0.
7.
设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如右图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
选D 由题图可知,当x<
-2时,f′(x)>
当x=-2时,f′(x)=0;
当-2<
x<
1时,f′(x)<
当1<
2时,f′(x)<
当x=2时,f′(x)=0;
当x>
2时,f′(x)>
0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
8.设f(x)=则f(x)dx等于( )
A.B.
C.D.
选A f(x)dx=x2dx+dx
=x3+lnx=.
9.
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如右图所示,它与x轴相切于原点,且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为( )
A.-1B.0
C.1D.-2
选A 法一:
因为f′(x)=-3x2+2ax+b,函数f(x)的图象与x轴相切于原点,所以f′(0)=0,即b=0,所以f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<
0).因为函数f(x)的图象与x轴所围成区域的面积为,所以(-x3+ax2)dx=-,所以=-,所以a=-1或a=1(舍去),故选A.
法二:
因为f′(x)=-3x2+2ax+b,函数f(x)的图象与x轴相切于原点,所以f′(0)=0,即b=0,所以f(x)=-x3+ax2.若a=0,则f(x)=-x3,与x轴只有一个交点(0,0),不符合所给的图象,排除B;
若a=1,则f(x)=-x3+x2=-x2(x-1),与x轴有两个交点(0,0),(1,0),不符合所给的图象,排除C;
若a=-2,则所围成的面积为-2x2)dx==≠,排除D,故选A.
10.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
选D 由f(x)=2x2-lnx可知定义域为(0,+∞),所以k-1≥0,k≥1.故排除B、C两项.又因为f′(x)=4x-,令f′(x)=0,得x=或x=-(舍去),f(x)在上单调递减,在上单调递增.由题意知且k≥1,得1≤k<.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.(陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).
答案:
(1,1)
12.函数f(x)=2x2-lnx的单调递增区间为________.
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
令f′(x)=4x-=≥0,得x≥.
13.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t(v的单位:
m/s;
t的单位:
s),则列车刹车后至停车时的位移为________.
停车时v(t)=0,则27-0.9t=0,∴t=30,
∴s=∫v(t)dt=∫(27-0.9t)dt
=(27t-0.45t2)=405(m).
405m
14.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>
0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围为________.
令f′(x)=3x2-3a2=0,
∴x=±
a.
当f′(x)>
0时,x>
a或x<
-a;
当f′(x)<
0时,-a<
a,
所以函数f(x)在(a,+∞),(-∞,-a)上为增函数,
在(-a,a)上为减函数.
故f(x)极大值=f(-a)=2a3+a,
f(x)极小值=f(a)=a-2a3,
∴
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤.)
15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值.
解:
(1)f′(x)=2ax+b+
=,x∈(0,+∞),
由y=f(x)的极值点为1和2,
∴2ax2+bx+4=0的两根为1和2,
解得
(2)由
(1)得f(x)=x2-6x+4lnx,
∴f′(x)=2x-6+=
=,x∈(0,3].
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
-
f(x)
-5
4ln2-8
4ln3-9
∵f(3)=4ln3-9>
f
(1)=-5>
f
(2)=4ln2-8,
∴f(x)max=f(3)=4ln3-9.
16.(本小题满分12分)若函数f(x)=ax2+2x-lnx在x=1处取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间及极值.
(1)f′(x)=2ax+2-,
由f′
(1)=2a+=0,得a=-.
(2)f(x)=-x2+2x-lnx(x>0).
f′(x)=-x+2-=.
由f′(x)=0,得x=1或x=2.
①当f′(x)>0时,1<x<2;
②当f′(x)<0时,0<x<1或x>2.
当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(2,+∞)
-ln2
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
函数的极小值为f
(1)=,极大值为f
(2)=-ln2.
17.(本小题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,注意到ex>0,所以-x2+2>0,解得-<x<,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).同理可得,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-)和(,+∞).
(2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,所以f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.
又因为f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到ex>0,因此-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立,也就是a≥=x+1-在(-1,1)上恒成立.
设y=x+1-,则y′=1+>0,
即y=x+1-在(-1,1)上单调递增,
则y<1+1-=,故a≥,
所以实数a的取值范围为.
18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx-.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2,求a的值;
(2)设g(x)=lnx-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范围.
(1)f′(x)=+=(x>0),
当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)不存在最小值.
当a<0时,由f′(x)=0,得x=-a,
且0<x<-a时f′(x)<0,
x>-a时f′(x)>0.
∴x=-a时f(x)取最小值,
f(-a)=ln(-a)+1=2,解得a=-e.
(2)g(x)<x2,即lnx-a<x2,即a>lnx-x2,
故g(x)<x2在(0,e]上恒成立,也就是a>lnx-x2在(0,e]上恒成立.
设h(x)=lnx-x2,则h′(x)=-2x=,由h′(x)=0及0<x≤e,得x=.
当0<x<时h′(x)>0,当<x≤e时h′(x)<0,即h(x)在上为增函数,在上为减函数,所以当x=时h(x)取得最大值为h=ln-.
所以g(x)<x2在(0,e]上恒成立时,
a的取值范围为.
第一章导数及其应用B卷
(B卷 能力素养提升)
(提升卷时间120分钟,满分150分)
1.已知函数y=,则它的导函数是( )
A.y′=
B.y′=
C.y′=
D.y′=-
选B u=x-1,
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- 学年 人教版 高中数学 选修 22 同步 单元 检测 试题 AB 解析