北师大版数学必修全套教案Word格式文档下载.docx
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重点:
感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。
难点:
周期函数概念的理解,以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法:
数学来源于生活,又指导于生活。
在大千世界有很多的现象,通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义,再应用于实践。
教学用具:
实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境,揭示课题】
同学们:
我们生活在海南岛非常幸福,可以经常看到大海,陶冶我们的情操。
众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如,[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象。
所以,我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)
【探究新知】
1.我们已经知道,潮汐、钟表都是一种周期现象,请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片),注意波浪是怎样变化的?
可见,波浪每隔一段时间会重复出现,这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)
(板书:
一、我们生活中的周期现象)
2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?
教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容,并思考回答下列问题:
①如何理解“散点图”?
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?
③如何理解图1-1中的“Hm”和“t°
(n°
>0)的角,圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1,点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r>0)和rl(rl>0),由初中所学的弧长公式有l=r,l1=r1,所以==,这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值,与所取的半径大小无关,只与角α的大小有关.
用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);
用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进行换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算.
3.角度制与弧度制的换算.
现在我们知道:
1个周角=360°
=r,所以,(板书)360°
=2πrad,由此可以得到180°
=πrad,1°
=≈0.01745rad,1rad=()°
≈57.30°
=57°
18’。
说明:
在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住180°
=πrad这一关系式.
今后我们用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写这个角所对应的弧度数.例如,角α=2就表示是2rad的角,sin就表示rad的角的正弦,但用角度制表示角时,“度”或“°
”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如45°
=rad,不必写成45°
=0.785弧度.
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法,而角度制与弧度制可以相互转化,所以与角α终边相同的角(连同角α在内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致.
角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:
每一个角都有唯一的一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;
反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应,就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化,发展思维】
1.例题讲评
例1.把45°
化成弧度。
解:
45°
=×
45rad=rad.
例2.把rad化成度。
rad=×
180°
=108°
.
例3.利用弧度制证明扇形面积公式S=lr,其中l是扇形的弧长,r是圆的半径。
证:
∵圆心角为1的扇形的面积为·
πr2,又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为,∴扇形的面积S=·
·
πr2=lr.
2.学生课堂练习
(1)填表
度
0°
60°
360°
弧度
一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去进行换算.
(2)用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理,整体认识
(1)主要学习了弧度制的定义;
角度与弧度的换算公式;
特殊角的弧度数。
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
六、布置作业:
习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思
§
4.1锐角的正弦函数§
4.2任意角的正弦函数§
4.3正弦函数y=sinx的图像(2课时)
(1)回忆锐角的正弦函数定义;
(2)熟练运用锐角正弦函数的性质;
(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义;
(4)掌握任意角的正弦函数的定义;
(5)理解有向线段的概念;
(6)了解正弦函数图像的画法;
(7)掌握五点作图法,并会用此方法画出[0,2π]上的正弦曲线。
初中所学的正弦函数,是通过直角三角形中给出定义的;
由于我们已将角推广到任意角的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找直角三角形,从而引出单位圆;
利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重要方法,在第二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用;
讲解例题,总结方法,巩固练习。
通过本节的学习,使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识;
在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;
通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;
培养学生分析问题、解决问题的能力。
1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的图像。
在初中,我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦,当把锐角放在直角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意角时,通过函数定义的形式引出正弦函数的定义;
作正弦函数y=sinx图像时,在正弦函数定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。
投影机、三角板
第一课时§
4.1锐角的正弦函数§
4.2任意角的正弦函数
一、教学思路
我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。
请同学们回忆
(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念;
(2)初中所学的正弦函数是如何定义的?
并想一想它有哪些性质?
学生思考回答以后,教师小结。
【探究新知】
在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:
sinα=,
如图:
sinA=,由于a是直角边,c是斜边,所sinA∈(0,1)。
由于我们通常都是将
角放到平面直角坐标系中,我们来看看会发生什么?
在直角坐标系中,(如图所示),设角α(α∈(0,))
的终边与半经为r的圆交于点P(a,b),则角α的正弦值是:
sinα=.根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α,都不会随圆的半经的改变而改变。
为简单起见,令r=1(即为单位圆),那么sinα=b,也就是说,若角α的终边与单位圆相交于P,则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数?
一般地,在直角坐标系中(如上图),对任意角α,它的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b)的纵坐标b,所以P点的纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数,记作y=sinα(α∈R)。
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为y=sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明:
角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
它们的正弦值有什么关系?
角和角呢?
-角和角呢?
-角和-角呢?
通过上述问题的讨论,容易得到:
终边相同的角的正弦函数值相等,即
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),说明对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值不变。
所以,正弦函数是随角的变化而周期性变化的,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。
一般地,对于周期函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化,发展思维】
课本P17的思考与交流。
课本P18的练习。
3.若点P(—3,y)是α终边上一点,且sinα=—,求y值.
4.若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在函数y=—3x(x≤0)
的图像上,则sinα=。
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
三、课后反思
第二课时§
4.3正弦函数y=sinx的图像
三角函数是一种重要的函数,从第一节我们就知道在实际生活中,有许多地方用到三角函数。
今天我们来学正弦函数y=sinx的图像的做法。
在前一节,我们知道正弦函数是一个周期函数,最小正周期是2π,所以,关键就在于画出[0,2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的?
作函数图像的三步骤:
列表,描点,连线。
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示,
角α的终边与单位圆交于点P(x,y),提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?
如果不能,你能否设计
一种方法加以解决?
引出有向线段的概念.
有向线段:
当α的终边不在坐标轴上时,可以把MP看作是带方向的线段,
y>0时,把MP看作与y轴同向(多媒体优势,利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与y轴同向).
y<0时,把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与y轴反向).
师生归纳:
①MP是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP是从M→P,而PM则是从P→M。
②不论哪种情况,都有MP=y.③依正弦定义,有sinα=MP=y,我们把MP叫做α的正弦线.
(投影仪出示反馈练习)当α为特殊角,即终边在坐标轴上时,找出其正弦线。
演示运动过程,让学生清楚认识到:
当α终边在x轴上时,正弦线变为一个点,即sinα=0。
2.作图的步骤
边作边讲(几何画法)y=sinxx[0,2]
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