线性代数第六章.docx
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线性代数第六章.docx
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线性代数第六章
*第六章线性空间与线性变换
在第三章中,咱们把n元有序数组叫做n维向量,讨论了向量的许多性质,并介绍过向量空间的概念.在这里,咱们把这些概念推行,使向量及向量的概念更具一般性、加倍抽象化.
§1线性空间的概念与性质
概念1设V是一个非空集合,R为实数域,若是对于任意两个元素∈V,总有惟一的一个元素∈V与之对应,称为的和,记作;对于任一数k∈R与任一元素∈V,总有惟一的一个元素∈V与之对应,称为k与的积,记为=k;而且这两种运算知足以下八条运算规律(对任意∈V;k,∈R):
(1);
(2);
(3)在V中有一个元素0(叫做零元素),使对任何∈V,都有+0=;
(4)对任何∈V,都有V中的元素,使=0(称为的负元素);
(5)1=;
(6)k()=(k);
(7)(k+)=k+;
(8)k()=k+k.
那么,V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).
简言之,凡知足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算;凡概念了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间).
注意:
向量不必然是有序数组;
向量空间V对加法与数量乘法(数乘)封锁;
向量空间中的运算只要求知足八条运算规律,不必然是有序数组的加法及数乘运算.
例1实数域R上次数不超过n的多项式的全部,咱们记作P[x]n,即
P[x]n={anxn+…+a1x0+a0|an,an-1,…,a1,a0∈R}.
对于通常的多项式加法、多项式数乘组成R上的向量空间.
例2实数域R上n次多项式的全部,记作W,即
W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an,an-1,…,a1,a0∈R,且an≠0}.
W对于通常的多项式加法、多项式数乘不组成R上的向量空间.
因为0(anxn+an-1xn-1+…+a1x0+a0)=0W,即W对数乘不封锁.
例3全部实函数,按函数的加法、数与函数的乘法,组成R上的线性空间.
例4n个有序实数组成的数组的全部
Sn={x=(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn∈R}
对于通常的有序数组的加法及如下概念的数乘
k·(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)
不组成R上的向量空间,因为1x=0,不知足运算规律(5).
例5正实数的全部,记作R+,概念加法、数乘运算为
ab=ab(a,b∈R+),k·a=ak(k∈R,a∈R+).
验证R+对上述加法与数乘运算组成R上的线性空间.
证实际上要验证十条.
对加法封锁:
对任意a,b∈R+,有ab=ab∈R+;
对数乘封锁:
对任意k∈R,a∈R+,有k·a=ak∈R+;
(1)ab=ab=ba=ba;
(2)(ab)c=(ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc);
(3)R+中的元素1知足:
a1=a·1=a(1叫做R+的零元素);
(4)对任何a∈R+,有aa-1=a-1=1(a-1叫做a的负元素);
(5)1·a=a1=a;
(6)k·(λ·a)=k·()k==()·a;
(7)(k+λ)·a====k·aλ·a;
(8)k·(ab)=k·(ab)=(ab)k=akbk=akbk=k·ak·b.
因此,R+对于上面概念的运算组成R上的线性空间.
下面咱们直接从概念来证明线性空间的一些简单性质.
性质1零元素是惟一的.
假设01,02是线性空间V中的两个零元素,即对任何∈V,有+01=,+02=,于是特别有
02+01=02,01+02=01,
故01=01+02=02+01=02.
性质2任一元素的负元素是惟一的(的负元素记作-).
假设有两个负元素与,即=0,=0.于是
性质30=0;(-1)=-;k0=0.
因为+0=1+0=(1+0)=1=,
所以0=0+0=(-+)+0=-+(+0)=-+=0
又因为+(-1)=1+(-1)=[1+(-1)]=0=0,
所以(-1)=0+(-1)=(-+)+(-1)
=-+[+(-1)]=-+0=-;
而k0=k[+(-1)]=k+(-k)=[k+(-k)]=0=0.
性质4若是k=0,那么k=0或=0.
假设k≠0,那么
=1=(·k)=(k)=0=0.
在第三章子空间的概念可推行到一般线性空间中.
概念2R上线性空间V的一个非空子集合W若是对于V的两种运算也组成数域R上的线性空间,称W为V的线性子空间(简称子空间).
一个非空子集要知足什么条件才组成子空间?
因为W是V的一部份,V中运算对W而言,规律
(1),
(2),(5),(6),(7),(8)显然被知足,因此只要W对运算封锁且知足规律(3)(4)即可,但由线性空间的性质3知,若W对运算封锁,则能知足规律(3)(4),因此有
定理1线性空间V的非空子集W组成V的子空间的充分
必要条件是W对于V中的两种运算封锁.
例6在全部实函数组成的线性空间中,所有实系数多项式组成V的一个子空间.
§2维数、基与坐标
在第三章,咱们讨论了n维数组向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性组合、线性相关与线性无关等,这些概念及有关性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线性空间中的元素(向量)仍然适用,以后咱们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念一样适用于一般的线性空间.
概念3在线性空间V中,若是存在
n个元素1,2,…,n,知足:
(1)1,2,…,n线性无关.
(2)V中任一元素都可由1,2,…,n线性表示,那么,1,2,…,n就称为线性空间V的一个基,n称为线性空间V的维数.
维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作Vn.
若是在V中能够找到任意多个线性无关的向量,那么V就称为无穷维的.
若知1,2,…,n为V的一个基,则对任何∈Vn,都有一组有序数x1,x2,…,xn使
=x11+x22+…+xnn,
而且这组数是惟一的(不然1,2,…,n线性相关).
反之,任给一组有序数x1,x2,…,xn,可惟一肯定Vn中元素
=x11+x22+…+xnn.
如此,Vn的元素与有序数组(x1,x2,…,xn)之间存在着一种一一对应,因此可用这组有序数来表示,于是咱们有
概念4设1,2,…,n是线性空间Vn的一个基,对于任一元素∈Vn,有且仅有一组有序数x1,x2,…,xn使
=x11+x22+…+xnn,
x1,x2,…,xn这组有序数就称为在基1,2,…,n下的坐标,记作
(x1,x2,…,xn).
例7在线性空间P[x]3中,1=1,2=x,3=x2,4=x3就是P[x]3的一个基,P[x]3的维数是4,P[x]3中的任一多项式
f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
可写成f(x)=a34+a23+a12+a01,
因此f(x)在基1,2,3,4下的坐标为(a0,a1,a2,a3).
易见1=1,2=1+x;3=2x2,4=x3也是P[x]3的一个基,而
f(x)=(a0-a1)1+a12+2+a34,
因此f(x)在基1,2,3,4下的坐标为(a0-a1,a1,,a3).
取定Vn的一个基1,2,…,n,设∈Vn,
=x11+x22+…+xnn,
=y11+y22+…+ynn,
于是
=(x1+y1)1+(x2+y2)2+…+(xn+yn)n,
k=(kx1)1+(kx2)2+…+(kxn)n.
即的坐标是
(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)=(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn),k的坐标是
(kx1,kx2,…,kxn)=k(x1,x2,…,xn).
总之,在线性空间Vn中取定一个基1,2,…,n,则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…,xn)之间有一个一一对应的关系,且那个对应关系维持线性组合的对应,即
设(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn).则
(1)(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn);
(2)kk(x1,x2,…,xn).
由上面所述,咱们能够说Vn与Rn有相同的结构,称Vn与Rn同构.
一般地,设V与U是R上的两个线性空间,若是在它们的元素之间有一一对应关系,且那个对应关系维持线性组合的对应,那么就说线性空间V与U同构.
易见,同构关系具有传递性,咱们有
定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等.
同构主如果维持线性运算的对应关系,因此,Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算,而且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn,但Rn中超出线性运算的性质,在Vn中就不必然具有,如内积.
§3基变换与坐标变换
事实上,n维线性空间中,任意n个线性无关的向量都能够取做空间的基,由例7可见,同一元素在不同的基下有不同的坐标,那么,不同基与不同的坐标之间有如何的关系呢?
设1,2,…,n及1,2,…,n是线性空间Vn的两个基,且
式可表为
和称为基变换公式,矩阵C称为由基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵,C必然是可逆矩阵.
定理3设Vn中的元素在基1,2,…,n下的坐标为(x1,x2,…,xn),在基1,2,…,n下的坐标为,若两个基知足,则有坐标变换公式
证因
而1,2,…,n线性无关,故即有关系式.
例8在例7中,咱们有
故
这与例7所得的结果是一致的.
§4线性变换
概念5设A、B是两非空集合,若是对于A中的任一元素,依照必然的法则,总有B中的一个肯定的元素与之对应,那么那个法则称为从集合A到集合B的映射.若是A=B,A到A的映射称为A的变换.
映射常常利用表示,A的变换常常利用T表示.
A到B的映射使B中的与A中的对应,就记
=()或=,
现在,β称为在映射下的像,称为在下的原像,的像的全部组成的集合称为的像集,记作(A),即
(A)={()|∈A}.
映射的概念是函数概念的推行.
例9设A=R,B=R+,(x)=x2+3是R到R+的一个映射,它把x映射到x2+3,7是-2在下的像.
概念6设U,V是R上的两个线性空间,是V到U上的一个映射,若是知足
(1),∈V,(+)=()+();
(2)k∈R,∈V,(k)=k(),
那么,就称为V到U的线性映射.
当V=U时,V到U的线性映射称为V的线性变换.
例10在线性空间P[x]3中,微分运算D是一个线性变换.
因
D[f(x)+g(x)]=[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)=Df(x)+Dg(x),
故D[kf(x)]=[kf(x)]′=kf′(x)=kDf(x).
例11由关系式
肯定xOy平面上的一个线性变换,T把任一贯量按逆时针方向旋转角.
例12在线性空间R3中,变换
T()=+(1,0,0),∈R3.
验证T不是R3的线性变换.
因
T(0)=T(0)=(0,0,0)+(1,0,0)≠0=0·T().
线性变换具有下述性质:
(1)T(0)=0,T(-)=-T();
(2)若=k11+k22+…+kmm,则
T=k1T1+k2T2+…+kmTm;
(3)若1,2,…,m线性相关,则T1,T2,…,Tm也线性相关.
只证T(0)=0,其余请读者自证.
因T(0)=T(0·0)=0·T(0)=0.
(4)线性变换T的像集是V的子空间,称为T的像空间.
证设1,2∈T(V),那么,存在1,2∈V使
1=T1,2=T2,
从而
(因1,2∈V);
(因k1∈V).
因此,T(V)是V的子空间.
(5
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- 线性代数 第六