直线平面平行的判定与性质知识点及题型归纳Word文件下载.docx
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面∥面线∥面
如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
∥
a∥a
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)(见表8-10)
表8-10
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
l∥
ll∥l
Il
二、两个平面平行
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:
对于平面和,若I,则∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)(见表8-11)表8-11
判定定理线∥面
面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行
a,b,aIbPa∥,b∥∥
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)(见表8-12)表8-12
面//面线//面
如果两个平面平行,那
么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
//
a//a
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平行(简记为“面面平行线面平行”)
Iaa//b.
Ib
面//面线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线,那
么另一个平面也垂直于这条直线
题型归纳及思路提示
题型1证明空间中直线、平面的平行关系思路提示:
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.
(1)证明直线与平面平行的常用方法:
○1利用定义,证明直线a与平面没有公共点,一般结合反证法证明;
○2利用线面平行的判定定理,即线线平行线面平行.辅助线的作法为:
平面外直线的端点进平面,同
向进面,得平行四边形的对边,不同向进面,延长交于一点得平行于第三边的线段;
○3利用面面平行的性质定理,把面面平行转化成线面平行;
(2)证明面面平行的常用方法:
○1利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合;
○2利用面面平行的判定定理;
○3利用两个平面垂直于同一条直线;
○4证明两个平面同时平行于第三个平面.
(3)证明线线平行的常用方法:
○1利用直线和平面平行的判定定理;
○2利用平行公理;
一、线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用例8.24已知m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,下列命题正确的是(
C.若m//,m//,则//D.若m,n,则m//n
解析:
举反例排除,如图8-91正方体模型所示,AB//底面A1C1,AD//底面A1C1,但AB和AD不平行,A选项错误,同理,平面AC平面BC1,平面AB1平面BC1.故B选项错误,AB//底面A1C1,AB//底面A1C,而两个平面为相交关系,故C错,选D.
评注:
此类问题可以特殊化为一个长方体的;
棱,面等,进而进行转化.变式1已知m,n是两条不同的直线,,是二个不同的平面,给出下列四个命题:
○1m,m//n,则n.○2//,m,n则m//n.
○3m//,m//n,则n//.○4//,m//n,m,则n.
其中正确的序号是()
A.○1○3B.○2○4C.○1○4D.○2○3
变式2给出以下四个命题:
○1如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
○2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直;
○3如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线平行;
○4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直.
变式3若平面//,直线a//,点B,则在平面内过点B的直线中()
A.不一定存在与a平行的直线.B.只有两条与a平行的直线.
C.存在无数条与a平行的直线.D.只有一条与a平行的直线.
例8.25如图8-92所示,已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若EH//FG,求证:
EH//BD.
解析因为EH//FG,EH平面BCD,FG平面BCD,所以EH//平面BCD.又
EH平面ABD,平面ABDI平面BCD=BD,所以EH//BD.
评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法,也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传递性来证明.
变式1如图8-93所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD//BC,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点,证明:
EF//A1D1.
变式2(2012北京海淀区一模理16
(1))如图8-94所示,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,设平面PABI平面PCD=m,求证:
CD//m.
二、线面平行的证明方法:
线面平行的证明方法主要有两种:
(1)由线线平行线面平行,其证明途径通过平面外的直线
与平面内的直线平行,推得直线与平面平行,也可以作辅助线,构造相似三角形或平行四边形,得到线线平行,从而推出线面平行;
(2)由面面平行线面平行,由已知或构造直线所在的平面与已知
平面平行,证明直线与平面平行.
方法1:
由线线平行和线面平行的相互转化,求证线面平行.
例8-26如图8-95所示,圆锥顶点为P,底面圆心为O,AB和CD是底面圆O上的两条平行弦,证明:
平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.
分析:
本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合,即线线平行线面平行线线平行.
解析:
设平面PAB和平面PCD的交线为l.因为AB//CD,
AB平面PCD,CD平面PCD,所以AB//平面PCD.
又因为AB平面PAB,平面PABI平面PCD=l.
所以AB//l,由直线AB在底面上,l在底面外,所以有l与底面平行.
变式1如图8-96所示,在三棱锥P-ABC中,E,F,分别是PA,PC的中点,记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
方案二:
平行进面法(同向进面法)思路提示:
如图8-97所示,证明AB//
分析过程:
AB//AB//CD四边形ABCD为平行四边形AC//BD.
例8.27如图8-98所示,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB和PD的中点,求证AF//平面PCE.
1
如图8-99所示,取PC中点为G,连接EG,FG,由F为PD的中点,则FG//CD.
由已知有AE//CD,AE//FG,故四边形AEGF为平行四边形,因此AF//EG,
2
又EG平面PCE,AF平面PCE,所以AF//平面PCE.
通过同向进面法能有效的在平面PCE中找到与AF平行的直线,点A沿AE方向进平面于点E,点F同向沿AE进平面于点G,连接EG,构造平行四边形AEGF,只要证明EG//AF即可.
变式1如图8-100所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M为OA的中点,N为BC的
变式2如图8-101所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,AB=2EF,H为BC的中点,求证:
FH//平面EDB.
例8.28如图8-102所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点,在棱AA1上是否存在点P,使得
AP
DP//平面B1AE,若存在,求的值;
若不存在,说明理由.
AA1
1分析:
先假设存在,推理出点P的位置,再证明,根据平行进面法,点D沿着DC方向到达点E,且DE=1DC,
2若存在,则点P也可沿同样方向运动且等距离进入平面B1AE,从而易猜出P为AA1中点.
AP1
在棱AA1上存在点P使得DP//平面B1AE,且=.证明如下:
AA12
1如图8-103所示,取AA1中点P,AB1中点Q,连接PQ,PD,QE,则在VAA1B1中,PQ为中位线,即PQ//A1B1.
又长方体ABCD-A1B1C1D1中,
E为CD中点,故DE//1AB1//1A1B
2121
故PQ//DE,所以四边形PQED为平行四边形,所以DP//EQ,又DP平面B1AE,EQ平面B1AE,
变式1如图8-104所示,在四棱锥
P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB//CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD?
若存在,求PM的值,若不存在,请说明理由
PB
F,使
变式2如图8-105所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1中点,在棱C1D1上是否存在一点得B1F//平面A1BE?
证明你的结论.
方法三:
相交进面法(不同向进面法)
思路提示:
如图8-106(a)(b)所示,证明AB∥α。
分析过程
(1):
ECED
AB∥α?
AB∥CD?
在三角形ABE中CADB分析过程
(2):
EAEB
在三角形CDE中ACBD
观察图形,易知采用相交进面法(不同向进面法):
点C进入平面AB1D到点D延长到B,连接A1B,与平面AB1D相交于点E,从而证明A1C∥DE即可。
如图8-107(b)所示,连接A1B∩AB1=E,连接DE。
因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以四边形
A1B1BA是平行四边形,故E为A1B的中点。
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