分离变量法习题文档格式.docx
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X(x)X(x)0(0xl)
X(0)0,X(l)0
若λ<
0,则此定解问题的微分方程的通解为
X(x)c1exp(x)c2exp(x),
代入边值条件后可得c1c20X(x)0,不符合要求。
若λ=0,则此定解问题的微分方程的通解为
X(x)c1c2x,
代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0,不符合要求。
若λ>
X(x)c1cosxc2sinx,代入边界条件后可得:
X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx,
X(l)c2sinl0,X(x)0sinl0,n
所以可取
X(x)Xn(x)sin
nx
l
(n1,2,)
由T(t)所满足的方程可得:
nat
2
T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosl所以,原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为nat
bn
bnsinnl
u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosl
sinnat)sin
ll
设原混合问题的解函数为
u(x,t)(ancos
n1l
natnx
)sin,
bnsin)sin
则由初始条件可得:
0u(x,0)ansinnx
an
0(n1,2,)
na
nanatnx
ut(x,t)bncossin,
n1lll
(x)ut(x,0)
n1
bnsin
2l
0(x)sinldx,
c
cv0sin
nx2v0ln(c)
dx22(cos
lnal
cos
n(c)
*)
所以,原混合问题的解为
bn由(*)给出。
u(x,t)bnsinnatsinnx,其中的
n1ll
由于边界条件非齐次,
需作函数变换如下:
设
E
v(x,t)u(x,t)l(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx),
则vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t),
22
vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0,
v(0,t)u(0,t)El(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00,
v(x,0)u(x,0)El(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0,
所以,u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是:
v(x,t)是如下混合问题的解:
vtt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)
v(0,t)0,v(l,t)0
v(x,0)El(lx),vt(x,t)0
用分离变量法求解此定解问题,由分离变量法的标准步骤可得:
v(x,t)(Ancos
Bnsin)sin
lll
代入初始条件可得:
,
Bn0,An
E(lx)sinnxdx2E
2E
natnxcossin
所以,v(x,t)2Ecossin
n1nll
原混合问题的解函数为u(x,t)E(lx)
ln1n
3求解下列阻尼波动问题的解:
utt2huta2uxx0(0xl,t0)u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)(x),ut(x,0)(x)
其中,h为正常数,且ha。
2l解:
使用分离变量法,设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件:
u(x,t)X(x)T(t)
则容易算得:
uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t),
代入方程后化简可得:
T(t)22hT(t)X(x)
a2T(t)X(x)
0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0,
0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0,
T(t)2hT(t)a2T(t)0
X(x)X(x)0
X(0)0,X(l)0
由X(x)的非零性可得0,此时,X(x)c1cosxc2sinx,
X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx,
取c21得:
X(x)sinx,X(l)cosl0n
2n12
2将代入T(t)所满足的方程可得:
T(t)2hT(t)2n1a
laT(t)0
22h
2n1a0nhh2
(2n1)a
a(2n1)a
hnh2l
(2n1)ah2i
从而有:
T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt),
其中
2n1a2nh2
(n1,2,),
1)
设原混合问题的解函数为:
u(x,t)eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)x,
(2n1)
(x)u(x,0)Ansinx,
2(2n1)xdx0l21(1cos(2n2l1)xdx2l,
2l0(x)sin(2n2l1)xdx(n1,2,)
2)
ut(x,t)eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin
(2n1)x
(x)ut(x,0)(hAn
nBn)sin
3)
Bn1(hAn2l0(x)sin(2n2l1)xdx)。
所以,原混合问题的解是u(x,t)eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)x,
其中的
n,An,
Bn分别由
(1)式、
(2)式、(3)式给出。
4求解混合问题
uxxLCuttu(0,t)0,
u(x,0)E,
(LGRC)utGRu(0xl,t0)ux(l,t)0ut(x,0)GE
C
其中L、C、G、R为常数,且LG=RC。
(提示:
作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t))
记a21,bGR,混合问题的微分方程两边同除LC,方程可化为
LCCL
a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t),
a22(u(x,t)exp(bt))2(u(x,t)exp(bt)),xt
设v(x,t)u(x,t)exp(bt),则有a2vxx(x,t)vtt(x,t),
而且,vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),vt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt),
所以v(0,t)u(0,t)expb(t)0,vx(l,t)ux(l,t)expb(t)0,
v(x,0)u(x,0)expb(0)u(x,0)E,vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0,所以,若u(x,t)是原混合问题的解函数,则v(x,t)是如下混合问题的解函数:
vtt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)
v(0,t)0,vx(x,t)0
v(x,0)E,vt(x,t)0用分离变量法求解此混合问题,设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为v(x,t)X(x)T(t),则vx(x,t)X(x)T(t),
vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t),
T(t)
a2T(t)
由齐次边界条件可得,X(x)为如下定解问题的解:
X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx,
X(0)0,X(l)012
X(0)0c10,取c21得X(x)sinx,
X(l)cosl0n(2n1)(n1,2,),
T2(t)nT(t)Tn(t)Ancos(2n1)atBnsin(2n1)at,
a2T(t)2l2l
X(x)Xn(x)sin
(2n1)x(n1,2,),
v(x,t)(An
(2n1)at(2n1)at(2n1)xcosBnsin)sin
An
v(x,0)sin(2n1)xdx4E
02l(2n1)
Bn0,
所以v(x,t)
4E
n1(2n1)
(2n1)at(2n1)xcossin
所以,原题目所给的混合问题的解函数为:
u(x,t)exp(bt)n1(2n1)
4E(2n1)at(2n1)xcossin。
5用固有函数法求解
2uttauxxg(const),(0xl,t0)u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,ut(x,0)0
(2n1)22l
X(x)Xn(x)sin(2n2l1)x
设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非
零解函数:
u(x,t)X(x)T(t),利用分离变量法的标准步骤可求得:
将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下:
2l2l(2n1)x4g
fn(t)2l0f(x,t)Xn(x)dx2l0gsin(2n2l1)xdx(2n4g1)
(1
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