步步高高考数学大一轮复习 11集合的概念与运算教师用书 理 苏教版Word下载.docx
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关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n,非空子集个数为2n-1,真子集有2n-1个.
(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
)
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<
4},则∁UP={2}.( √ )
1.(2014·
课标全国Ⅰ改编)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<
2},则A∩B等于________.
答案 [-2,-1]
解析 ∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<
2},
∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].
2.(2014·
四川改编)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于________.
答案 {-1,0,1,2}
解析 因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2}.
3.(2013·
山东改编)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________.
答案 5
解析 x-y∈
,所以元素的个数为5.
4.设集合A={x|x2+2x-3>
0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>
0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 A={x|x2+2x-3>
0}={x|x>
1或x<
-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>
0,f(0)=-1<
0,
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,
所以有f
(2)≤0且f(3)>
即
所以
≤a<
.
题型一 集合的基本概念
例1
(1)(2013·
江西改编)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于________.
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性.
答案
(1)4
(2)2
解析
(1)当a=0时,方程化为1=0,无解,集合A为空集,不符合题意;
当a≠0时,由Δ=a2-4a=0,解得a=4.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)定义集合A,B的一种运算:
A*B={x|x=x1·
x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2},B={1,2},则A*B中的所有元素的数字之和为________.
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
答案
(1)7
(2)-
解析
(1)根据题意,A={1,2},B={1,2},则集合A*B中的元素可能为:
1,2,2,4,又由集合元素的互异性,得A*B={1,2,4},其所有元素之和为7.
(2)因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=-
或m=1(舍去),
此时当m=-
时,m+2=
≠3符合题意,
所以m=-
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
x<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
答案
(1)4
(2)(-∞,4]
解析
(1)由x2-3x+2=0得A={1,2}.
又B={1,2,3,4}.
∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.
(1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有________个.
(2)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案
(1)6
(2)[1,+∞)
解析
(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个).
(2)A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c),因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
题型三 集合的基本运算
例3
(1)(2014·
辽宁改编)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于________.
(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.
答案
(1){x|0<
1}
(2)1或2
解析
(1)∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},
在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)={x|0<
1}.
(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×
(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×
(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况;
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
(1)(2014·
浙江改编)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于________.
(2)设集合M={x|-1≤x<
2},N={y|y<
a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围一定是________.
答案
(1){2}
(2)a>
-1
解析
(1)因为A={x∈N|x≤-
或x≥
},
所以∁UA={x∈N|2≤x<
},故∁UA={2}.
(2)∵M={x|-1≤x<
a},
且M∩N≠∅,如图只要a>
-1即可.
题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质:
(Ⅰ)0∈A,1∈A;
(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
∈A.
则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是________________________________________________________________________.
(1)集合B={-1,0,1}是“好集”;
(2)有理数集Q是“好集”;
(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
答案 2
解析
(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.
(2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,
∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
A,B是非空集合,定义A×
B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.若A={x|y=
},B={y|y=3x},则A×
B=________.
答案 (-∞,3)
解析 A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=R,A∩B=[3,+∞).所以A×
B=(-∞,3).
遗忘空集致误
典例:
设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________.
易错分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B⊆A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=∅的情况,导致漏解.
解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数之间的关系,
得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
解得a<
-1.
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