金学案高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理Word格式.docx
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②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.
(2)类比推理:
由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为 类比推理 .
①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从 特殊 到 特殊 的推理.
③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.
问题3:
归纳推理、类比推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些相同的性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);
如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.
归纳推理的一般思维过程:
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论
①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
③检验猜想.
类比推理的一般思维过程:
观察、比较→联想、类推→猜想新结论
问题4:
合情推理及其意义
归纳推理和类比推理都是最常见的 合情 推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.
尽管合情推理的结果 不一定 正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.
数学中有一条三角形定理:
三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.
1.数列{an}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为( ).
A.an= B.an=
C.an=D.an=
【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.
【答案】B
2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是( ).
A.10nB.10n-1
C.10n+1D.11n
3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>
()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lgx1)、D(x2,lgx2)是函数y=lgx(x>
0)的图像上的不同两点,则类似地有 成立.
【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<
lg.
【答案】<
lg
4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?
【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f
(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.
归纳推理的应用
已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>
1,n∈N+),则f3(x)的表达式为 ,猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为 .
【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察fn(x)的特点,从而归纳出fn(x).
【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想fn(x)=(n∈N+).
【答案】f3(x)= fn(x)=(n∈N+)
【小结】归纳推理的一般步骤:
(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.
利用类比推理猜想结论
在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<
19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:
在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式 成立.
【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.
【解析】等差数列
用减法定义
性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);
等比数列
用除法定义
性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·
an=ap·
aq).
由此,猜测本题的答案为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,n∈N+).
【答案】b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,n∈N+)
【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.
通过类比方法解题
通过计算可得下列等式:
22-12=2×
1+1
32-22=2×
2+1
42-32=2×
3+1
……
(n+1)2-n2=2×
n+1
将以上各式分别相加得:
(n+1)2-12=2×
(1+2+3+…+n)+n,
即1+2+3+…+n=.
类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.
【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×
n2+3×
n+1,再叠加即可.
【解析】23-13=3×
12+3×
33-23=3×
22+3×
43-33=3×
32+3×
(n+1)3-n3=3×
(n+1)3-13=3×
(12+22+32+…+n2)+3×
(1+2+3+…+n)+n,
所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3·
·
n]=n(n+1)(2n+1).
【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.
(1)设函数f(x)=(x>
0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N+且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))= .
(2)观察下列等式:
13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为 .
【解析】
(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此fn(x)=f(fn-1(x))=.
(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.
【答案】
(1)
(2)13+23+33+43+53+63=212
下列是用类比法进行猜测的几个结论:
①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>
b⇒ac>
bc”;
②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sinA+sinB”;
③由“=(a>
0,b>
0,c>
0)”类比得到“=(a>
0)”;
④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.
其中,正确结论的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;
②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;
③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;
④类比的结论是正确的.
在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.
【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.
下面计算验证,
假设两个正四面体的棱长分别为1和2,
如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,
则OD=ED=×
=,
又在Rt△AOD中,AO===,
则V正四面体ABCD=S△BCD·
AO=×
×
=.
同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'
B'
C'
D'
=2.
∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'
=∶=1∶8.
1.根据给出的数塔猜测123456×
9+7等于( ).
1×
9+2=11
12×
9+3=111
123×
9+4=1111
1234×
9+5=11111
12345×
9+6=111111
A.1111110 B.1111111
C.1111112D.1111113
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:
正四面体的内切球切于四面体( ).
A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点
【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.
【答案】C
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项an的表达式为 .
【答案】an=(n∈N+)
4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC中,猜想:
==.
(2013年·
陕西卷)观察下列等式:
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
照此规律,第n个等式可为 .
【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{an},
∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-a
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