南开大学计算机与控制 工程学院 运筹学历年考研真题汇编 含部分答案文档格式.docx
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运筹学与控制论
一、(35分)已知某工厂计划生产A、B、C三种产品,备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工,加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。
试问:
(1)应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?
(2)若另有两种新产品D、E,生产单位D产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时,单位产品利润千元;
生产单位E产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时,单位产品利润千元,请分别回答这两种新产品投产是否合算?
(3)若为了增加产量,可租用其他工厂的设备甲,可租用的时间是60小时,租金万元。
请问是否合算?
(4)增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?
答:
(1)设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1,x2,x3单位。
则可以得出数学模型:
添加人工变量x4,x5,x6利用单纯形法计算如下:
cj
3
2
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
304
[8]
16
10
1
400
5
8
420
13
38
5/4
1/8
20
-15
-9/2
-5/4
344
9
15/2
-1/4
-4
-
已得最优解,即只生产A种产品,所得利润最大。
(2)增加新变量x7,x8,对应的c7=,c8=,约束矩阵增加两个列向量
,
其检验数为:
则判断出:
产品D的投产不合算,产品E投产合算。
(3)即
,其不影响检验数的结果,故最优解不变。
最终单纯形表中
,
故租用设备甲合算。
(4)当增加乙的工时,
,故利润不会增加。
二、(15分)有A、B、C、D四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。
已知这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。
又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备的启动费用,分别为100元和150元。
现要求加工四种零件各3件,问应如何安排生产使总的费用最小?
请建立该问题的线性规划模型(不需求解)。
加工一个零件的费用(单位:
元)
设i=1,2,3,4分别表示产品A、B、C、D;
j=1,2表示设备甲、乙。
xij表示产品i在设备j上生产的个数,
则得线性规划模型如下:
其中
三、(25分)某工程公司在未来1—4月份内需完成三项工程:
第一项工程的工期为1—3月份,总计需劳动力80人月;
第二项工程的工期为1—4月份,总计需劳动力100人月;
第三项工程的工期为3—4月份,总计需劳动力120人月。
该公司每月可用劳力为80人,但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过60人。
问该工程公司能否按期完成上述三项工程任务,应如何安排劳力?
(请将该问题归结为网络最大流问题求解)
可以构建如下网络图(弧上数字为最大流量)。
其中,结点1、2、3、4分别代表1、2、3、4月份,结点5、6、7分别代表第一、二、三项工程。
通过标号与调整,得到的最大流如下图所示。
该最大流问题有多重最优解,上图仅给出一种。
所以该公司能按期完成上述三项工程任务,安排劳力的方案可以为:
1月份,安排60人做第一项任务、20人做第二项任务;
2月份,安排60人做第二项任务;
3月份,安排60人做第三项任务、20人做第一项任务;
4月份,安排60人做第四项任务、20人做第三项任务。
四、(25分)某工厂设计的一种电子设备由A、B、C三种元件串联而成,已知三种元件的单价分别为2万元、3万元、1万元,单件的可靠性分别为、、,要求设计中使用元件的总费用不超过10万元,问应如何设计使设备的可靠性最大?
(请使用动态规划方法求解)
该题中元件A,B,C是串联在一起的,为保证可靠性,在条件允许的情况下,我们会将多个同种元件并联在一起。
如上图,就是将2件A,1件B,3件C先并联再串联在一起,
由于A,B,C的可靠性分别为,,。
设采用m个A,n个B,1个C串联
该组合整体的可靠性为
约束条件为
且m,n,1都为正整数。
由动态规划的思路,我们先从单价高的B开始分类:
由于A,B,C至少都得有1件,故在10万元为限制的前提下,B最多2件。
选择2件B时,问题转化为
由于m与n必须都大于0,故此时必然选择1件A,2件B,此时可靠性为:
×
×
=。
选择1件B时,问题转化为
此时可以选择1件A,5件C;
2件A,3件C;
或者3件A,1件C。
同理计算可靠性分别为,,。
故可靠性最大的组合为2件A,1件B,3件C,此时可靠性为。
五、(25分)某公司兴建一座港口码头,只有一个装卸船只的位置。
设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布,预计船只的平均到达率为3只/天,船只到港后如不能及时装卸,停留一日公司将损失1500元。
现需设计该港口码头的装卸能力(即每日可以装卸的船只数),已知单位装卸能力每日平均生产费用为2000元,问装卸能力为多大时,每天的总支出最少?
在此装卸能力之下,求:
(1)装卸码头的利用率;
(2)船只到港后的平均等候时间?
(3)船只到港后总停留时间大于一天的概率。
设装卸能力为
,公司的支出
。
则
令
所以
时,每天的总支出最少。
(1)
;
所以码头的利用率为1-P0=2/3。
(2)
即船只到港后的平均等候时间是
(3)设船只到港后的总停留时间T,则T服从
的负指数分布。
分布函数为
六、(25分)已知A、B各自的纯策略及A的赢得矩阵如下表所示,求双方的最优策略及对策值。
在A的赢得矩阵中第4列优超于第2列,第1列优超于第3列,故可划去第2列和第3列,得到新的赢得矩阵
对于
,第二行优超于第4行,因此去掉第4行,得到
,易知无最优纯策略,用线性规划的方法求解,其相应的相互对偶的线性规划模型如下:
利用单纯形法求解第二个问题,迭代过程如下表所示。
YB
y1
y4
y5
y6
y7
6
4
1/6
12
1/4
检验数
3/8
1/3
1/2
-3/4
[21/2]
-1/2
1/21
5/8
-1/8
3/28
1/7
-1/28
19/84
-61/84
-1/21
2/21
-2/21
-5/84
从上表中可以得到,第二个问题的最优解为:
由最终单纯形表的检验数可知,第一个问题的最优解为:
于是:
所以,最优混合策略为:
对策的值为
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2012年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解
学院:
140商学院
897运筹学(商学院)
管理科学与工程
一、某厂生产A、B两种产品,需经过金工和装配两个车间加工,有关数据如表1所示.产品B无论生产批量大小,每件产品生产成本总为400元。
产品A的生产成本分段线性:
第1件至第70件,每件成本为200元;
从第71件开始,每件成本为190元。
试建立线性整数规划模型,使该厂生产产品的总利润最大。
(本题共15分)
设x1,x2为产品A、B的个数,
则建立线性整数规划模型如下:
二、现有一个线性规划问题(p1)
maxz1=CX
其对偶问题的最优解为Y*=(y1,y2,y3,…,ym)。
另有一线性规划(p2):
maxz2=CX
其中,d=(d1,d2,…,dm)T。
求证:
maxz2≤maxz1+Y*d(南开大学2011年研)
证:
问题1的对偶问题为:
问题2的对偶问题为:
易见,问题1的对偶问题与问题2的对偶问题具有相同的约束条件,从而,问题1的对偶问题的最优解
一定是问题2的对偶问题的可行解。
令问题2的对偶问题的最优解为
,则
因为原问题与对偶问题的最优值相等,所以:
三、某工厂计划生产甲、乙、丙3种产品,各产品需要在设备A、B、C上进行加工,其所需加工小时数、设备的有效台时和单位产品的利润表2所示。
请回答下面三个问题:
(本题共20分,其中第一小题10分,后两小题各5分)
1.如何安排生产计划,可使工厂获得最大利润?
2.若每月可租用其他工厂的A设备360台时,租金200万元,问是否租用这种设备?
若租用.能为企业带来多少收益?
3.若另外有一种产品,它需要设备A、B、C的台时数分别为2、1、4,单位产品利润为4万元,假定各设备的有效台时数不变,投产这种产品在经济上是否合算?
1.设生产甲、乙、丙三种产品各为x1,x2,x3单位.,则由题意得:
加入松弛变量后,利用单纯形法计算如下:
600
[4]
800
150
3/4
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