北京市高考真题理数.docx
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北京市高考真题理数
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。
考试时间120分钟。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)在复平面内,复数对应的点位于
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
(2)若与都是非零向量,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(3)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有
(A)36个(B)24个
(C)18个(D)6个
(4)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是
(A)一条直线(B)一个圆
(C)一个椭圆(D)双曲线的一支
(5)已知是上的减函数,那么的取值范围是
(A)(B)
(C)(D)
(6)在下列四个函数中,满足性质:
“对于区间上的任意,恒成立”的只有
(A)(B)
(C)(D)
(7)设,则等于
(A)(B)
(C)(D)
(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:
单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50
(A)
(B)
(C)
(D)
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在题中横线上。
(9)的值等于__________________.
(10)在的展开式中,的系数中__________________(用数字作答).
(11)若三点共线,则的值等于_________________.
(12)在中,若,则的大小是______________.
(13)已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于_______,最大值等于____________.
(14)已知三点在球心为,半径为的球面上,,且,那么两点的球面距离为_______________,球心到平面的距离为______________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题共12分)
已知函数,
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)设是第四象限的角,且,求的值.
(16)(本小题共13分)
已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
(17)(本小题共14分)
如图,在底面为平行四边表的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(18)(本小题共13分)
某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:
考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:
在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
(19)(本小题共14分)
已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.
(20)(本小题共14分)
在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:
任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
2006年高考理科数学参考答案(北京卷)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)D
(2)C (3)B (4)A
(5)C (6)A (7)D (8)C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10)-14
(1) (12)
(13) (14)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共12分)
解:
(Ⅰ)由cosx≠0得
故f(x)的定义域为
(Ⅱ)因为,且a是第四象限的角。
所以,
故
(16)(共13分)
解法一:
(Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,
在(2,+∞)上
故在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减。
因此在x=1处取得极大值,所以。
(Ⅱ)
由
得
解得a=2,b=-9,c=12
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)设
又
所以
由
即
得m=6
所以a=2,b=-9,c=12
(17)(共14分)
解法一:
(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD
∴AB是PB在平面ABCD上的射影
又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,
∴AC⊥PB
(Ⅱ)连接BD,与AC相交于O,连接EO。
∵ABCD是平等四边形,
∴O是BD的中点,
又E是PD的中点,
∴EO∥PB
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC。
(Ⅲ)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为
又
∴
∴OE⊥AC,OG⊥AC
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。
∵
∴
∴二面角的大小为
(18)(共13分)
解:
记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则
(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
应聘者用方案二考试通过的概率
(Ⅱ)因为所以
即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大。
(19)(共14分)
解法一:
(Ⅰ)由知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长
又半焦距c=2,故虚半轴长
所以W的方程为
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(),()
当
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得:
故
所以
又因为
综上,当取得最小值2。
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,则
令
则,所以
当且仅当时,“=”成立
所以的最小值是2。
(20)(共14分)
(Ⅰ)解:
(答案不惟一)
(Ⅱ)解:
因为绝对差数列,所以自第20项开始,该数列是。
即自第20项开始,每三个相邻的项周期地取值3,0,3,所以当时,an的极限不存在。
当
(Ⅲ)证明:
根据定义,数列必在有限项后出现零项,证明如下:
假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当
;
当
即的值要么比至少小1,那么比至少小1。
令
则
由于c1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项c1<0,这与cn>0(n=1,2,3,…)矛盾,从而必有零项。
若第一次出现的零项为第n项,记,则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A即
所以绝对差数列中有无穷多个零的项。
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