解析几何第四版习题答案第四章Word文档格式.docx
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(y
3)2
(z
2)2
即:
y2
z2
yz6y5z
3
此即为要求的柱面方程。
(2)取准线上一点M
(
x,
z
),过M
且平行于直线
的直线方程为:
c
x0
t
y0
z0
而M0在准线上,所以
(x
1)2
(z
xyz2t20
上式中消去t后得到:
x2
y2
3z2
2xy
8
x8y
8z
26
而M0在准线上,所以:
y2
(z2t)2
2(z
2t)
消去t,得到:
4x2
4
xz
20
10z
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线
z,x
1
1,与x
z2的圆柱面方程。
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过
又过准线上一点M1(x1,y1,z1),且方向为1,1,1的直线方程为:
xx1tx1xt
yy1ty1yt
zz1tz1zt
将此式代入准线方程,并消去t得到:
5(x2y2z2xyyzzx)2x11y13z0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为(u)x(u),y(u),z(u),母线的方向平行于矢量SX,Y,Z,
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
xY(u)vS
与
xx(u)Xv
yy(u)Yv
zz(u)Zv
式中的u,v为参数。
证明:
对柱面上任一点M(x,y,z),过M的母线与准线交于点M(x(u),y(u),z(u)),则,
MMvS
即
1、求顶点在原点,准线为x22z10,yz10的锥面方程。
设为锥面上任一点M(x,y,z),过M与O的直线为:
XYZ
xyz
设其与准线交于(X0,Y0,Z0),即存在t,使X0xt,Y0yt,Z0zt,将它们代入准线
方程,并消去参数t,得:
x22z(zy)(zy)20
x2y2z20
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为(3,1,2),准线为x2y2z21,xyz0,试求它的方程。
设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:
X
Y
Z
令它与准线交于(X
Y,Z
),即存在
,使
X0
3)t
Y0
!
)t
Z0
2)t
将它们代入准线方程,并消去
t得:
3x2
5y2
7z2
6xy
2yz
10xz
4x4y4z40
此为要求的锥面方程。
4、求
对锥面上任一点
M(x,y,z),过M与顶点O的母线为:
令它与准线的交点为
(X0,Y0,Z0),即存在t,使X0xt,Y0
yt,Z0zt,将它们代入
准线方程,并消去
xy
yzzx
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为(1,2,4),轴与平面2x2yz0垂直,且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。
轴线的方程为:
x1y2z4
221
过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为:
2(x
3)
2(y
2)
(z1)
2x
2y
11
该平面与轴的交点为
37),它与(3,2,1)
的距离为:
9
d
(11
(20
2)2
(37
1)2116
要求圆锥面的准线为:
的径矢为0
x0,y0,z0
,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
r
uuuur
uur
v(u)
(1
v)0
vx(u)
v)x0
vy(u)
v)y0
vz(u)
(1v)z0
式中,u,v为参数。
证明:
对锥面上任一点M(x,y,z),令OM
,它与顶点A的连线交准线于
M
uuuuruuuur
(x(u),y(u),z(u)),即OM
(u)。
uuuuur
0(顶点不在准线上)
QAM//AM,且AM
AM
vAM
v(
(u)
0)
亦即
v)
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示,即:
{x,y,z}v{x(u),y(u),z(u)}(1v){x0,y0,z0}
v)x0
vz(u)(1v)z0
此为锥面的坐标式参数方程,
u,v为参数。
4.3
旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程:
(1);
x1
y1z1绕x
z1旋转
(2);
xy
z1绕x
(3)x
z绕z轴旋转;
(4)空间曲线
x2
绕z轴旋转。
(1)设M1(x1,y1,z1)是母线x
1z
1上任一点,过
M1的纬圆为:
x1)
y1)
2(z
z1)
(1)
(z1)2
x12
y1
(z11)2
(2)
因M1在母线上,
x1
z1
(3)
从
(1)——(3)消去x1,y1,z1,得到:
5x2
5y2
23z2
12xy
24yz
24xz
24x24y
46z230
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