平行四边形的性质与判断同步教学讲义.docx
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平行四边形的性质与判断同步教学讲义
平行四边形的性质与判定
◆【要点1】平行四边形的概念:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
◆【要点2】平行四边形的性质:
对边平行且相等;对角相等,邻角互补;对角线互相平分;
◆【要点】平行四边形的判定:
(1);
(2);
(3);(4);(5);
◆【要点4】---平行四边形的有关计算:
1、;
2、;
【要点5】多边形的内角和:
边形的内角和为。
任意多边形的外角和为。
【考点题型1】----平行四边形的性质
【例1】1、平行四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形的面积()
、都不相等待、不都相等、都相等、以上结论都不对
2、□中,的平分线分为和两部分,则□的周长为;
变式:
(13荆州模拟—改编)如图,中,是的延长线上一点,平分与交于点,,若,则的周长为;
3、(金华)如图,在□中,,,,过的中点作,垂足为点,与的延长线相交于点,则的面积是;
4、如图:
□的对角线相交于点,且,过点作,交于点,若□的周长为,求的周长;
【考点题型2】----平行四边形的判定
【例2】下列说法中正确的是()
、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形;
、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;
、一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形;
、一组对边平行且有一组邻角相等的四边形是平行四边形;
【例3】如图:
已知:
是的角平分线,,在上截取。
试证明:
。
【考点题型3】---多边形的内角、外角
【例4】1、一个多边形的每个外角都为,则这个多边形的边数为;
2、一个多边形的内角和是外角和的倍,求多边形的边数;
◆目标训练1:
1、已知一个多边形的内角和是,则这个多边形为()
、三角形、四边形、五边形、六边形
2、□中,,,若边上的高为2,则边上的高为()
、2、3、4、6
3、□周长为,对角线交于,的周长比的周长多,则
□各边的长分别为;
4、(四川内江)已知下列命题:
(1)一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形;
(3)有一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形;
(4)两组邻角互补的四边形是平行四边形。
其中,真命题有()个
、1、2、3、4
5、□的对角线、相交于点,若□的面积为,则的面积为()
、、、、
◆【创新中考思维拓展】
【例5】1、一个多边形除去一个内角外,其余内角和为,这这个多边形是边形,除去的这个内角度数为;
2、四边形的四条边长分别是,,,。
其中、为对边,、为对边,且满足,则这个四边形一定是;
3、(13江西)如图,与的周长相等,且,,则的度数为.
4、(13河北)如图,四边形中,点,分别在,上,将沿翻折,得,若,,则.
5、如图:
在□中,是的中点,且,,,则该平行四边形的面积是;
【例6】(13葫芦岛一模)如图,、分别是的边、上的点,与相交于点,与相交于点,若,,则阴影部分的面积为.
2、(13菏泽)如图,中,对角线与相交于点,,,将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内,若点的落点记为,则的长为.
3、(13无锡)如图,平行四边形中,,,在上,且,是的中点,过分别作于,于,则等于()
、、、、
4、(13荆州)如图,是以的对角线为边的等边三角形,点与点关于轴对称,若点的坐标是(,),则点的坐标是;
5、如图:
六边形中,平行且等于、平行且等于、平行且等于,对角线,已知,,则六边形的面积是;
【例7】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点、、在小正方形的顶点上,将向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到,然后将绕点顺时针旋转得到。
(1)在网格中画出和;
(2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积;
【例8】如图:
中,,于,平分,
交于.求证:
.
变式:
(09成都调研)
(1)求证:
;
(2)若,,求的长。
【例9】(淄博)将一副三角尺如图拼接:
含角的三角尺()的长直角边与含角的三角尺()的斜边恰好重合.已知,是上的一个动点.
(1)当点运动到的平分线上时,连接,求的长;
(2)当点在运动过程中出现时,求此时的度数;
(3)当点运动到什么位置时,以,,,为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上?
求出此时□的面积.
优生堂家庭作业(12)
姓名作业等级
1、在下列给出的条件中,能判定四边形为平行四边形的是()
、、
、、
2、下面给出了四边形的内角,、、的度数之比,其中能判定四边形是平行四边形的是()
、、、、
3、如图:
□中,点在边上,以为折痕,将向上翻折,点正好落在上的点,若的周长为,
的周长为,则的长为;
4、如图:
在□中,,交的延长线于。
若,,,求□的周长。
5、如图:
以的三条边向的同一侧作等边、等边、等边,试判断四边形的形状,并说明你的理由。
中位线与平行四边形
◆【要点1】---三角形的中位线:
(1)定义:
连结三角形任意两边中点所成的线段;
(2)性质:
三角形的中位线平行且等于第三边的一半;
◆【要点2】---图形变换与坐标计算
◆基本方法总结:
1、遇高的相关问题可考虑等面积法;
2、遇中点可考虑特殊三角形的中线,中位线,常过中点作平行线构造中位线;
◆【考点题型1】---三角形的中位线
【例1】1、(13无锡)如图,平行四边形中,对角线交于,,是的中点,则的长等于.
2、(13宁波)如果三角形的两条边分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的( )
、、、、
3、(13呼和浩特)如图,在四边形中,对角线,垂足为,点、、、分别为边、、、的中点.若,,则四边形的面积为 .
4、(13深圳)如图,有一张一个角为,最小边长为2的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是()
、或、或、或、或
【例2】(13常德)已知两个共一个顶点的等腰,等腰,
,连接,是的中点,连接、.
(1)如图1,当与在同一直线上时,求证:
;
(2)如图1,若,,求、的长;
(3)如图2,当时,求证:
.
◆【考点题型2】---平行四边形的有关计算
【例3】1、(13荆州模拟6)如图,已知一张纸片□,,点是的中点,点是上的一个动点,沿将纸片折叠,使点落在纸片上的点处,连结,则下列各角中与不一定相等的是( )
、、、、
2、(13十堰)如图,中,,、分别在和的延长线上,,,,则的长是 .
3、(13铁岭)如图,在平面直角坐标中,直线经过原点,且与轴正半轴所夹的锐角为,过点(,)作轴的垂线交于点,过点作作直线的垂线交轴于点,以、为邻边作;过点作轴的垂线交直线于点,过点作直线的垂线交轴于点,以.为邻边作;…;按此作法继续下去,则的坐标是 .
【例4】(成华区调研)如左图,中,是的平分线,交于点,且,连接、。
(1)求证:
≌
(2)若,,(右图),求四边形的面积。
◆【考点题型3】----创新中考、能力拓展
【例5】(12无锡)如图1,、分别在轴和轴上,轴,轴.点从点出发,以的速度,沿五边形的边匀速运动一周.记顺次连接、、三点所围成图形的面积为,点运动的时间为.已知S与之间的函数关系如图2中折线段所示.
(1)求、两点的坐标;
(2)若直线将五边形分成面积相等的两部分,求直线的函数关系式.
【例6】(13德州)
(1)如图1,已知,以、为边向外做等边和等边.连接,.请你完成图形,并证明:
;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹)
(2)如图2,已知,以、为边向外做正方形和正方形.连接,.与有什么数量关系?
简单说明理由.
(3)运用
(1)、
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,要测量池塘两岸相对的两点,的距离,已经测得,,,.求的长.
【例7】(北京)在中,的平分线交直线于点,交直线于点.
(1)在图1中证明;
(2)若,是的中点(如图2),直接写出的度数;
(3)若,,,分别连接、(如图3),求的度数.
【例8】(13江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历如下过程:
(1)操作发现:
在等腰中,,分别以和为斜边,向的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中于点,于点,是的中点,连接和,则下列结论正确的是 (填序号即可)
①、;②、;③、整个图形是轴对称图形;④、.
(2)数学思考:
在任意中,分别以和为斜边,向的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,是的中点,连接和,则和具有怎样的数量关系?
请给出证明过程;
(3)类比探究:
(1)在任意中,仍分别以和为斜边,向的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,是的中点,连接和,试判断的形状.答:
.
(2)在三边互不相等的(见备用图),仍分别以和为斜边,向的内侧作(非等腰)直角和(非等腰)直角,是的中点,连接和,要使
(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?
(限用题中字母表示)并说明理由.
优生堂家庭作业(13)
姓名作业等级
1、(13厦门)如图,的对角线,相交于点,点E,F分别是线段,
的中点.若,的周长是18厘米,则;
2、(13绥化)如图,在平行四边形中,对角线AC,BD相交于点,点E,F分别是边AD,AB的中点,EF交AC于点H,则的值为( )
、、、、
3、顺次连结四边形各边中点所得的四边形是()
、平行四边形、正方形、梯形、不能确定
4、(13鞍山)如图,是内一点,,,,,、、、分别是、、、的中点,则四边形的周长是.
5、(13日照)如图,已知四边形是平行四边形,为边延长线上一点,连结、,使.
(1)求证:
≌;
(2)若,,,求平行四边形的面积.
6、如图:
在中,,,平分,于点,为的中点,求的长。
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- 平行四边形 性质 判断 同步 教学 讲义