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复利现值
复利现值公式:
P=F×
1/(1+i)n
其中1/(1+i)n称为复利现值系数,用符号(P/F,i,n)表示
结 论
(1)复利终值和复利现值互为逆运算;
(2)复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数
1%
2%
3%
1
1.0100
1.0200
1.0300
2
1.0201
1.0404
1.0609
【例】某人将100元存入银行,复利年利率2%,求5年后的终值。
『正确答案』
F=P(1+i)n=100×
(1+2%)5
=100×
(F/P,2%,5)=110.41(元)
【例】某人为了5年后能从银行取出100元,在复利年利率2%的情况下,求当前应存入金额。
P=F/(1+i)n=100/(1+2%)5
(P/F,2%,5)=90.57(元)
3
1.0303
1.0612
1.0927
4
1.0406
1.0824
1.1255
5
1.0510
1.1041
1.1593
(二)年金终值和年金现值
年金是指间隔期相等的系列等额收付款。
具有两个特点:
一是金额相等;
二是时间间隔相等。
1.年金终值
(1)普通年金终值
【例】小王是位热心于公益事业的人,自2005年12月底开始,他每年年末都要向一位失学儿童捐款。
小王向这位失学儿童每年捐款1000元,帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。
假设每年定期存款利率都是2%,则小王9年的捐款在2013年年底相当于多少钱?
FA=A×
(F/A,i,n)
=1000×
(F/A,2%,9)
9.7546
=9754.6(元)
【例】A矿业公司决定将其一处矿产10年开采权公开拍卖,因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。
已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力,甲公司的投标书显示,如果该公司取得开采权,从获得开采权的第1年开始,每年年末向A公司交纳10亿美元的开采费,直到10年后开采结束。
乙公司的投标书表示,该公司在取得开采权时,直接付给A公司40亿美元,在8年末再付给60亿美元。
如A公司要求的年投资回报率达到15%,问应接受哪个公司的投标?
甲公司付款终值=10×
(F/A,15%,10)=203.04(亿美元)
乙公司付款终值=40×
(F/P,15%,10)+60×
(F/P,15%,2)
=241.174(亿美元)
甲公司付款终值小于乙公司,因此,A公司应接受乙公司的投标。
【提示】实际工作中,对上述问题的决策多采用比较现值的方式进行
(2)预付年金终值
具体有两种方法:
方法一:
预付年金终值=A×
(F/A,i,n)×
(1+i)
方法二:
F=A(F/A,i,n+1)-A=A[(F/A,i,n+1)-1]
(1)按照n+1期的普通年金计算终值;
(2)再把终值点的年金去掉。
【提示】预付年金终值系数与普通年金终值系数的关系:
期数加1,系数减1。
【例】为给儿子上大学准备资金,王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。
若银行存款利率为5%,则王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱?
【方法一】
FA=3000×
[(F/A,5%,7)-1]=21426(元)
【方法二】
(F/A,5%,6)×
(1+5%)=21426(元)
【例】某公司打算购买一台设备,有两种付款方式:
一是一次性支付500万元,二是每年初支付200万元,3年付讫。
由于资金不充裕,公司计划向银行借款用于支付设备款。
假设银行借款年利率为5%,复利计息。
请问公司应采用哪种付款方式?
一次性付款3年末的终值=500×
(F/P,5%,3)
=578.8(万元)
分期付款3年末的终值=200×
(F/A,5%,3)×
(1+5%)
=662.03(万元)
相比之下,公司应采用第一种支付方式,即一次性付款500万元。
(3)递延年金终值
递延年金的终值计算与普通年金的终值计算一样,计算公式如下:
FA=A(F/A,i,n)
注意式中“n”表示的是A的个数,与递延期无关。
2.年金现值
(1)普通年金现值
【例】某投资项目于2012年年初动工,假设当年投产,从投产之日起每年末可得收益40000元。
按年利率6%计算,计算预期10年收益的现值。
P=40000×
(P/A,6%,10)
=40000×
7.3601
=294404(元)
(2)预付年金现值——两种方法
P=A(P/A,i,n-1)+A
=A[(P/A,i,n-1)+1]
【提示】预付年金现值系数与普通金现值系数的关系:
系数加1,期数减1。
预付年金现值=A×
(P/A,i,n)×
一次性付款的现值=500(万元)
分期付款的现值=200×
[(P/A,5%,2)+1]
=571.88(万元)
(3)递延年金现值
【方法1】两次折现
计算公式如下:
PA=A(P/A,i,n)×
(P/F,i,m)
【方法2】年金现值系数之差
PA=A(P/A,i,m+n)-A(P/A,i,m)
=A[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]
式中,m为递延期,n为连续收支期数,即年金期。
【方法3】先求终值再折现
PA=A×
(P/F,i,m+n)
【例】某企业向银行借入一笔款项,银行贷款的年利率为10%,每年复利一次。
银行规定前10年不用还本付息,但从第11年至第20年每年年末偿还本息5000元。
要求:
用三种方法计算这笔款项的现值。
PA=5000×
(P/A,10%,10)×
(P/F,10%,10)
=11843.72(元)
[(P/A,10%,20)-(P/A,10%,10)]
=11845(元)
方法三:
(F/A,10%,10)×
(P/F,10%,20)
【例】某公司拟购置一处房产,房主提出两种付款方案:
(1)从现在起,每年年初支付200万元,连续付10次,共2000万元。
(2)从第5年开始,每年年初支付250万元,连续支付10次,共2500万元。
假设该公司的资本成本率(即最低报酬率)为10%,你认为该公司应选择哪个方案?
方案一付款现值=200×
(1+10%)
=1351.81(万元)
方案二付款现值=250×
(P/F,10%,3)
=1154.10(万元)
由于第二方案的现值小于第一方案,因此该公司应选择第二种方案。
【例·
单选题】有一项年金,前3年无流入,后5年每年年初流入500万元,假设年利率为10%,其现值为( )万元。
A.1994.59
B.1566.36
C.1813.48
D.1423.21
『正确答案』B
『答案解析』现值=500×
(P/A,10%,5)×
(P/F,10%,2)=1566.36(万元)
(4)永续年金的现值
预付永续年金现值=?
【例】归国华侨吴先生想支持家乡建设,特地在祖籍所在县设立奖学金。
奖学金每年发放一次,奖励每年高考的文理科状元各10000元。
奖学金的基金保存在中国银行该县支行。
银行一年的定期存款利率为2%。
问吴先生要投资多少钱作为奖励基金?
PA=20000/2%=1000000(元)
也就是说,吴先生要存入1000000元作为基金,才能保证这一奖学金的成功运行。
3.年偿债基金的计算
简单地说,如果是已知年金终值求年金,则属于计算偿债基金问题,即根据普通年金终值公式求解A(反向计算),这个A就是偿债基金。
根据普通年金终值计算公式:
可知:
式中的是普通年金终值系数的倒数,称偿债基金系数,记作(A/F,i,n)。
【提示】①偿债基金和普通年金终值互为逆运算;
②偿债基金系数和年金终值系数是互为倒数的关系。
【例】某人拟在5年后还清10000元债务,从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。
假设银行利率为10%,则每年需存入多少元?
A=10000×
(A/F,10%,5)
=10000×
[1/(F/A,10%,5)]
=1638(元)
4.年资本回收额的计算
年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本的金额。
年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P,求年金A。
式中,
称为资本回收系数,记作(A/P,i,n)。
【提示】
(1)年资本回收额与普通年金现值互为逆运算;
(2)资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
【例】某企业借得1000万元的贷款,在10年内以年利率12%等额偿还,则每年应付的金额为多少?
A=1000×
(A/P,12%,10)
[1/(P/A,12%,10)]
=176.98(万元)
【总结】系数之间的关系
1.互为倒数关系
复利终值系数×
复利现值系数=1
年金终值系数×
偿债基金系数=1
年金现值系数×
资本回收系数=1
2.预付年金系数与年金系数
相关系数
关系
预付年金终值系数与普通年金终值系数
(1)期数加1,系数减1
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