初三数学培训讲义第9讲 整体数形结合思想专题.docx
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初三数学培训讲义第9讲整体数形结合思想专题
第九讲整体、数形结合思想专题
一、主要知识点回顾
1.整体思想
(1)整体思想就是把所研究的对象作为一个________看待,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思维策略。
(2)解题策略:
解题时要善于用“整体”的眼光把某些式子或图形看成一个“整体”,把握部分和整体的关系,运用恰当的方法进行转化,达到“化繁为简”的目的。
2.数形结合思想
(1)数形结合思想就是把________与________结合起来进行分析、研究、解决问题的思维策略。
(2)解题策略:
解题时,常利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形),使问题化难为易,达到解决问题的目的。
二、感悟与实践
例题1:
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根。
(1)试确定c的符号
(2)求的值。
变式练习1:
(2011南京)设函数与的图象的交点坐标为(a,b),则
的值为__________。
例题2:
如图1,反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程(千米)和行驶时间(小时)之间的关系,根据所给图象,解答下列问题:
(1)写出甲的行驶路程和行驶时间之间的函数关系式。
(2)在哪一段时间内,甲的行驶速度小于乙的行驶速度;在哪一段时间内,甲的行驶速度大于乙的行驶速度。
(3)从图象中你还能获得什么信息?
请写出其中的一条。
变式练习2:
(2011贵州六盘水)如图2,火车匀速通过隧道(隧道长等于火车长)时,火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是()
例题3:
二次函数的图象如图3所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程的两个根。
(2)写出不等式的解集。
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。
(4)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围。
变式练习3:
已知抛物线。
(1)该抛物线的对称轴是,顶点坐标;
(2)请在图4的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足,试比
较y1与y2的大小。
例题4:
(2011茂名)如图5,⊙P与y轴相切于坐标原点O(0,0),与x轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C。
(1)已知AC=3,求点B的坐标;
(2)若AC=a,D是OB的中点。
问:
点O、P、C、D四点是否在同一圆上?
请说明理由。
(第(3)小题见(B)能力拓展第5题)
变式练习4:
(2011湖南衡阳)如图6,已知A,B两点的坐标分别为A(0,),B(2,0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D(-1,a)。
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求∠ACO的度数;
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.实数a、b在数轴上的位置如图7所示,则a与b的大小关系是()。
A.a>bB.a=bC.a 2.如图8,直线交坐标轴于A,B两点,则不等式的解集是()。 A. B. C. D. 3.在常温下向一定量的水中加入食盐Nacl,则能表示盐水溶液的浓度与加入的Nacl的量之间的变化关系的图象大致是()。 A.B.C.D. 4.二次函数的图象如图9所示,则下列关系式不正确的是()。 A.B.C.D. 5.(2011连云港)关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是()。 A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于x轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称 6.已知且,则的值等于。 7.如图10,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2。 8.如图11所示的函数图象反映的过程是: 小明从家去书店,又去学校取封信后马上回家, 其中x表示时间,y表示小明离他家的距离,则小明从学校回家的平均速度为 千米/小时。 9.如图12,若点A在反比例函数的图象上,AM⊥x轴于点M,△AMO的 面积为3,则。 10.如图13,矩形PMON的边OM,ON分别在坐标轴上,且点P的坐标为(-2,3)。 将矩形PMON向右平移4个单位,得到矩形 。 (1)请在右图的直角坐标系中画出平移后的矩形; (2)求直线OP的函数解析式。 (B)能力拓展 1.如图14,是反比例函数和()在第一象限的图象,直线AB∥x轴,并分别交两条曲线于A、B两点,若,则的值是()。 A.1B.2C.4D.8 2.已知二次函数的图象如图15所示,有下列5个结论: ①;②;③;④;⑤,(的实数)其中正确的结论有()。 A.2个B.3个C.4个D.5个 3.如图16,一名男生推铅球,铅球行进高度(单位: m)与水平距离(单位: m)之 间的关系是。 则他将铅球推出的距离是m。 4.(2011达州)若,则=。 5.(原题见例题4) (3)如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为O1,函数的图象经过点O1,求k的值(用含a的代数式表示)。 (C)趣味数学 某宾馆先把甲乙两种空调的温度设订为1度,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度再对乙种空调进行清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1度后的节电量的1.1倍而甲种空调的节电量不变这样两种空调每天共节电405度求只将温度条调高1度后两种空调每天共节电多少度? 四、考考你 1.已知二次函数的图像如图18所示,则在“①a<0, ②b>0,③c<0,④b2-4ac>0”中正确的个数为()。 A.1B.2 C.3D.4 2.已知一次函数的图象如图19所示,那么m的取值范围是()。 A.B.C.D. 3.如图20,数轴上的两个点所表示的数分别是,在中,最大的是()。 A.a+bB.a-bC.abD. 4.如图21是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从 所走的路程为()m。 A.B.C.D. 5.把分解因式,正确的是()。 A.B. C.D. 五、课外练习 (2011宿迁)如图22,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,求AB的长度。 (可利用的围墙长度超过6m)。 补充习题整体、数形结合思想专题 【能力拓展】 1.已知: 关于的一元二次方程。 (1)若原方程有实数根,求的取值范围; (2)设原方程的两个实数根分别为,。 ①当取哪些整数时,、均为整数; ②利用图1,估算关于的方程的解。 2.(2011宿迁)如图2,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F。 (1)当t≠1时,求证: △PEQ≌△NFM; Q D (2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值。 C N F M E P B A 图2 【课堂小测】每小题20分,共100分 1.如图3所示,半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过的时间为,圆与正方形重叠部分(阴影部分)的面积为,则与的函数关系式的大致图象为()。 图3 2.(2011随州)如图4,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线 y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为()。 A.4B.8C.16D. 3.方程的正数根的个数为()。 A.0B.1C.2D.3 4.已知二次函数的部分图象如图5所示,则关于的一元二次方程 的解为。 5.方程的整数解是。 初三数学讲义第九讲参考答案(58期) 二、感悟与实践 例题1: 【点评】由于这个方程有两个相等的实数根,因此△,可得出a、b之间的关系,然后将化简后,用含c的代数式表示b2,整体代入后即可求出这个分式的值。 (1)c<0(c=0不合题意) (2)∵有两个相等的实数根, ∴△,即。 ∴ 变式练习1: 。 【分析】由已知∴ 例题2: (1)s=2t (2)在0 的行驶速度。 (3)只要说法合乎情理即可。 变式练习2: B 例题3: (1), (2) (3)(4) 变式练习3: (1)直线x=1;(1,-3) (2)图略 (3)因为在对称轴x=1右侧,y随x的增大而增大,又x1>x2>1,所以y1>y2。 例题4: 解: (1)解法一: 连接OC, ∵OA是⊙P的直径, ∴OC⊥AB, 在Rt△AOC中, , 在Rt△AOC和Rt△ABO中, ∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO, ∴,即, ∴, ∴B 解法二: 连接OC,因为OA是⊙P的直径, ∴∠ACO=90° 在Rt△AOC中,AO=5,AC=3, ∴OC=4, 过C作CE⊥OA于点E,则: , 即: , ∴ ∴, ∴C, 设经过A、C两点的直线解析式为: y=kx+b。 把点A(5,0)、C代入上式得: , 解得: , ∴, ∴点B。 (2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下: 连接CP、CD、DP, ∵OC⊥AB,D为OB上的中点, ∴, ∴∠3=∠4, 又∵OP=CP, ∴∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°, ∴PC⊥CD,又∵DO⊥OP, ∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形, ∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等, ∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上。 变式练习4: 解: (1)设直线AB的解析式为, 将A(0,),B(2,0) 代入解析式中,得, 解得。 ∴直线AB的解析式为; 将D(-1,a)代入 得, ∴点D坐标为(-1,),将D(-1,)代入中得, ∴反比例函数的解析式为。 (2)解方程组得,, ∴点C坐标为(3,), 过点C作CM⊥轴于点M,则在Rt△OMC中, ,, ∴,∴, 在Rt△AOB中,, ∴, ∴∠ACO=。 三、巩固与提高 (A)巩固练习 1.C2.A3.D4.C5.D 6.7.88.69.-6 10. (1)如图所示图正确 (2)由已知设直线OP的函数解析式为: y=kx 因为点P的坐标为(-2,3), 代入,得3=-2k 即直线OP的函数解析式为: (B)能力拓展 1.C2.B3.104.6 5.由上可知,经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点,圆心, 由 (1)知: Rt△AOC∽Rt△ABO, ∴, 求得: AB=,在Rt△ABO中,, OD=,
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