人教版九年级数学反比例函数知识点归纳Word文档格式.docx
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2•尢(丘匸°
)也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比
例函数的解析式;
严二—
3.反比例函数“的自变量疋二-,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数"
的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称)
(三)反比例函数及其图象的性质
1•函数解析式:
.亠(11丿)
2.自变量的取值范围:
人*?
y随x的增大而增大.
当;
时,图象的两支分别位于二、四象限;
在每个象限内,
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(一丄,「在双曲线的另一支上.
图象关于直线丁r对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(二,-;
)和(一^,一主)在双曲线的另一支
上.
4.k的几何意义
y-—
如图1,设点P(a,b)是双曲线兀上任意一点,作PA丄x轴于A点,PB丄y轴于B点,则矩形PBOA
1^-1―险|
的面积是丨丨(三角形PAO和三角形PBO的面积都是2).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC丄PA的延长线于C,则有三角
2jk
形PQC的面积为.
5•说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
(2)直线」:
与双曲线'
的关系:
当'
亠.时,两图象没有交点;
当'
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.
(4)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;
(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(5)充分利用数形结合的思想解决问题.
三、例题分析
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x
C.3xy=1
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
答案:
(1)C;
(2)A.
2.图象和性质
(1)已知函数_是反比例函数,
1若它的图象在第二、四象限内,那么k=
②若y随x的增大而减小,那么k=
则直线,'
'
不经过的象限是().
(5)若P(2,2)和Q(m,卫)是反比例函数'
“图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().
().
化的大小关系是().
55
£
_fi-A二一^=~-
(3)下列四个函数中:
①」…;
②」-'
:
③;
④“.
y随x的增大而减小的函数有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
P二—
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的
函数值y随x的增大而(填增大"
或减小”.
(1)A;
(2)D;
(3)B.
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在每一个象限内”y随x的增大而减小.
(1)若°
与••成反比例,T与-:
成正比例,则y是z的().
A•正比例函数B•反比例函数C•一次函数D•不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数兀的图象有一个交点为(2,m),则m=,k=,
它们的另一个交点为•
(3)已知反比例函数的图象经过点i:
反比例函数’-的图象在第二、四象限,求巴的值.
朋+1
/二1
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数工(朋芒一1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3)•
1求x0的值;
②求一次函数和反比例函数的解析式.
y逢克)
(5)
已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的
^为了预防非典”某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.
含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃
毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
1药物燃烧时y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范围是;
药物燃烧
后y关于x的函数关系式为.
2研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过
分钟后,学生才能回到教室;
3研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的
病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
(1)B;
(2)4,8,(一1,一二);
J.
(3)依题意,”、二1J且;
,:
,解得;
.
Xq十空—3?
屯—
(4[①依题意,〔坯5+1"
解得
3
2一次函数解析式为」'
,反比例函数解析式为'
•-.
V=—X
(5)①,-,mw,
483
—-3x-=1325>
10
②30:
③消毒时间为--(分钟),所以消毒有效.
5•面积计算
y--~
(〔)☆如图,在函数'
的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所
作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为禺、耳,则()•
A•心*B•図<
敢匚屯C.&
皿7D沁
I
-—
(2)☆如图,A、B是函数-的图象上关于原点0对称的任意两点,AC//y轴,BC//X轴,△ABC的面积
S,则()•
m
尸二—
(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线■-上,且S△AOB=3,求m的值.
y-~
(4)☆已知函数工的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x
轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2,P2R2,垂足分别
为Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长,并比较它们的大小.
1
y~—
(5)如图,正比例函数y=kx(k>
0)和反比例函数■-的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴
于B,连接BC,若△ABC面积为S,贝US=
第(5)题图
第(6)题图
-与直线」—)在第四象限的交点,AB丄x轴于B
y
(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线
且S△ABO=2.
①求这两个函数的解析式;
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.
(7)
/IX1
C
F
B
n)
AF八
如图,已知正方形OABC的面积为9,点0为坐标原点,点A、C分别在x轴、
7
y轴上,点B在函数
■'
(k>
0,x>
0)的图象上,点P(m,n)是函数(k>
0)的图象上任意
一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.
①求B点坐标和k的值;
S'
=一
②当[时,求点P的坐标;
3写出S关于m的函数关系式.
(1)D;
(2)C;
(3)6;
(4)「宀-,矩形OQ1P1R1的周长为8,OQ2P2R2的周长为一,前者大.
(5)1.
3y-~—_0
(6)①双曲线为上,直线为」'
;
②直线与两轴的交点分别为(0,一》)和(-2,0),且A(1,一?
)和C(一?
,1),
因此一二匚面积为4.
(7[①B(3,3),k=9;
S严(缶-
②2时,E(6,0),戈
S=9-l-3«
=9-—
3;
二山
仇.综合应用
y=—
(1)若函数y=k1x(k1旳)和函数■■-(k2老)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().
①求反比例函数和一次函数的解析式;
①求点A、B、D的坐标;
限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).
①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;
②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和厶POD的面积相等?
若存在,给出证明并求出点P的坐标;
若
不存在,说明理由.
(5)不解方程,判断下列方程解的个数.
l+4r=0
--Ax-0
②
(1)D•
2y=——
(2[①反比例函数为"
,一次函数为」"
-;
②范围是八—或「m-.
(3[①A(0,T),B(0,1),D(1,0);
2
②一次函数为:
■■1■,反比例函数为•■-.
4
(4[①反比例函数为-;
,讥二-;
②存在F(2,2).
尹二—
(5[①构造双曲线.■■-和直线」“,它们无交点,说明原方程无实数解;
JP=—
②构造双曲线-和直线」4'
,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.
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